数学

一道向量题过抛物线y的平方=2x的焦点的一条直线交与ab两点,则向量 oa*向量ob=

OA*OB=|OA|*|OB|*cos∠AOB。 抛物线y^2=2x中p=1;p/2=1/2。故焦点是(1/2,0)。 过焦点的直线方程是y=k(x-1/2)--->x=y/k+1/2。 消去变量x得到:ky^2-2y-k=0。 。。。。。(*) 于是y1+y2=2/k; y1y2=-1。 因为，此二端点在此直线上，所以 x1+x2=(y1/k+1/2)+(y2/k+1/2)=(y1+y2)/k+1=2/k^2+1; x1x2=(y1/k+1/2)(y2/k+1/2)=y1y2/k^2+(y1+y2)/(2k)+1/4 =-1/k^2+(2/k)/(2k)+1/4=1/4。 |AB|...全部

  OA*OB=|OA|*|OB|*cos∠AOB。 抛物线y^2=2x中p=1;p/2=1/2。故焦点是(1/2,0)。 过焦点的直线方程是y=k(x-1/2)--->x=y/k+1/2。 消去变量x得到:ky^2-2y-k=0。
  。。。。。(*) 于是y1+y2=2/k; y1y2=-1。 因为，此二端点在此直线上，所以 x1+x2=(y1/k+1/2)+(y2/k+1/2)=(y1+y2)/k+1=2/k^2+1; x1x2=(y1/k+1/2)(y2/k+1/2)=y1y2/k^2+(y1+y2)/(2k)+1/4 =-1/k^2+(2/k)/(2k)+1/4=1/4。
   |AB|=|FA|+|FB|=(x1+p/2)+(x2+p/2)=(x1+x2)+p 在三角形中, 2|OA|*|OB|cos∠AOB=|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2 =(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)-[(x1+x2)+p]^2 =(x1^2+x2^2)+(y1^2+y2^2)-[（2/k^2+1)+p] =(x1+x2)^2-4x1x2-2p(x1+x2)-(2/k^2+p+1) =(2/k^2+1)^2-4(1/4)-2p(2/k^2+1)-(2/k^2+1)-p =(2/k^2+1)(2/k^2-2p)-(p+1) =。
  。。。。。 所以，向量OA*向量OB=。收起