三角形问题三角形ABC的一个内角等于π/3，该角的内外角平分线相等，求该三角形ABC的三边比。
如图
令△ABC中，∠B=60°，且bc=A，AC=b，AB=c。∠B的内角平分线交AC于点D，∠B的外角平分线交AC的延长线于E
那么，很明显有∠DBE=90°。 而，已知BD=BE
所以，△DBE为等腰直角三角形
所以，∠BDC=∠BEC=45°
而∠ABD=∠CBD=∠B/2=30°，且∠BDC=∠A+∠ABD
所以，∠A=15°，那么：∠C=105°
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC有：
a:b:c= :sinC
其中，sinB=sin60°=√3/2
而，sinA=sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°...全部
如图
令△ABC中，∠B=60°，且bc=A，AC=b，AB=c。∠B的内角平分线交AC于点D，∠B的外角平分线交AC的延长线于E
那么，很明显有∠DBE=90°。
而，已知BD=BE
所以，△DBE为等腰直角三角形
所以，∠BDC=∠BEC=45°
而∠ABD=∠CBD=∠B/2=30°，且∠BDC=∠A+∠ABD
所以，∠A=15°，那么：∠C=105°
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC有：
a:b:c= :sinC
其中，sinB=sin60°=√3/2
而，sinA=sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=(√2/2)*(√3/2)-(√2/2)*(1/2)
=(√6-√2)/4
sinC=sin105°=sin(45°+60°)
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=(√2/2)*(1/2)-(√2/2)*(√3/2)
=(√6+√2)/4
所以：
a:b:c= :sinC=[(√6-√2)/4]:[√3/2]:[(√6+√2)/4]
=[(√6-√2)]:[2√3]:[(√6+√2)]。收起
