1）求椭圆的标准方程； 2）求线段MN的长
设M(x1,y1),N(x2,y2), ∵ e²=3/4, ∴ b²=a²-0。75,把y=1-x代入b²x²+a²y²-a²b²=0得,(2a²-0。 75)x²-2a²x+1。75a²-(a²)²=0,则
x1+x2=2a²/(2a²-0。75), x1x2=1。75a²-(a²)²/(2a²-0。 75)…(*)
∵ 以MN为直径的圆经过坐标原点, ∴ x1x2+y1y2=...全部
设M(x1,y1),N(x2,y2), ∵ e²=3/4, ∴ b²=a²-0。75,把y=1-x代入b²x²+a²y²-a²b²=0得,(2a²-0。
75)x²-2a²x+1。75a²-(a²)²=0,则
x1+x2=2a²/(2a²-0。75), x1x2=1。75a²-(a²)²/(2a²-0。
75)…(*)
∵ 以MN为直径的圆经过坐标原点, ∴ x1x2+y1y2=0,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2, ∴ 2x1x2-(x1+x)2)+1=0,把(*)式代入,
于是有8(a²)²-14a²+3=0, ∵ a²>0。
75, ∴ a²=3/2, b²=3/4。
∴ 椭圆的标准方程为2x²+4y²=3
|MN|²=(1+k²)²[(x1+x2)²-4x1x2]=4[(16/9)-(2/3)]=40/9,
∴ |MN|=2√10/3
。收起
