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我认为以上几位老师用高数解答，虽然思路简单，但求驻点时运算量却不比初数方法小多少，下面提供一个初等数学的解法:
设x=[(√3)/2]tanθ(0≤θ≤π/2)，代入原式得
f(x)=-[(√3)/4]tanθ+[(√3)/2]secθ
=-[(√3)/4](sinθ-2)/cosθ。
令(sinθ-2)/cosθ=t(t<0)↔sinθ-tcosθ=2， 构造向量m=(1，t)，n=(sinθ，cosθ)， ∵|m|·|n丨≥|m·n|^2， ∴[1+(-t)^2][(sinθ)^2+(cosθ)^2]≥(sinθ-tcosθ)^2 ↔1+t^2≥2^2 ↔t≤-√3。
∴f(x)≥-[(√3)/4]·(-√3)=3/4， 即所求最小值为:f(x)|min=3/4。 。
令(sinθ-2)/cosθ=t(t<0)↔sinθ-tcosθ=2， 构造向量m=(1，t)，n=(sinθ，cosθ)， ∵|m|·|n丨≥|m·n|^2， ∴[1+(-t)^2][(sinθ)^2+(cosθ)^2]≥(sinθ-tcosθ)^2 ↔1+t^2≥2^2 ↔t≤-√3。
∴f(x)≥-[(√3)/4]·(-√3)=3/4， 即所求最小值为:f(x)|min=3/4。 。
已知f(x)=(-1/2)x+(1/2)√(4x^2+3)（x≥0）
则，f'(x)=(-1/2)+(1/2)*(1/2)*[1/√(4x^2+3)]*8x
=(-1/2)+[2x/√(4x^2+3)]
=[4x-√(4x^2+3)]/[2√(4x^2+3)]
当f'(x)=0时有：4x-√(4x^2+3)=0
===> 4x=√(4x^2+3)
===> 16x^2=4x^2+3
===> 12x^2=3
===> x^2=1/4
===> x=±1/2
已知x≥0
所以，x=1/2
即，x=1/2为函数f(x)在x≥0时的极值点
所以，f(x)|min=f(1/2)=3/4。
。
。
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