求函数h(x,y,z)的最大值与最小值

求函数h(x,y,z)的最大值与最小值

设x,y,z为实数，√3-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0。求函数 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) 的最大值与最小值。 解 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) =√[8(x+1)^2+1]+√[8(y+1)^2+1]+√[8(z+1)^2+1] 令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c。 ∵√3-1≥x,y,z≥-1,∴3≥a,b,c≥0 再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y...全部

  设x,y,z为实数，√3-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0。求函数 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) 的最大值与最小值。
   解 h(x,y,z)=√(8x^2+16x+9)+√(8y^2+16y+9)+√(8z^2+16z+9) =√[8(x+1)^2+1]+√[8(y+1)^2+1]+√[8(z+1)^2+1] 令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c。
   ∵√3-1≥x,y,z≥-1,∴3≥a,b,c≥0 再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=0 ∴a+b+c=3 那么转化为:a,b,c为非负实数,且a+b+c=3,求函数 h(a,b,c)=√[8a+1]+√[8b+1]+√[8c+1] 的最大值与最小值。
   由A-G不等式得: [h(a,b,c)]^2≤3[8a+1+8b+1+8c+1]=3[8(a+b+c)+3]=81。 ∴f(a,b,c)≤9。 故h(x,y,z)的最大值为9。 由柯西不等式得: 3[h(a,b,c)]^2=[√(25a+b+c)+√(25b+c+a)+√(25c+a+b)]^2 =27(a+b+c)+2√[(25b+c+a)(25c+a+b)] +2√[(25c+a+b)(25a+b+c)]+2√[(25a+b+c)(25b+c+a)] ≥27*6+2[(5b+5c+a)+(5c+5a+b)+(5a+5b+c)] =27*6+22*6=49*6 ∴[h(a,b,c)]^2≥49,f(a,b,c)≥7。
   故h(x,y,z)的最小值为7。 。收起