已知ab均为正整数

已知a、b均为正整数,且a＞b,sinθ=2ab/(a^2+b^2)(0＜θ＜π/2),An=(a^2+b^2)^n*sin(nθ).求证:对一切n∈N*,An均为整数.

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2011-04-23

0 0

    受yexiao1990maths老师留言的启发,得以下证明方法: ∵sinθ=2ab/(a^2+b^2),且0b, ∴cosθ=根[1-(sinθ)^2]=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)。
   显然,sin(nθ)为(cosθ+isinθ)^n的虚部, 由于 (cosθ+isinθ)^n =[(a^2-b^2)/(a^2+b^2)+2abi/(a^2+b^2)] =[1/(a^2+b^2)^n]*(a^2-b^2+2abi) =[1/(a^2+b^2)^n]*(a+bi)^(2n) ∴(a^2+b^2)^n*[cos(nθ)+sin(nθ)]=(a+bi)^(2n)。
     从而An=(a^2+b^2)^n*sin(nθ)为(a+bi)^(2n)的虚部。 ∵a、b为整数,依二项式定理,(a+bi)^(2n)的虚部当然也为整数, ∴对一切n∈N*,An为整数。

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曼***

2011-04-22

55 0

    证明:∵ sinθ=2ab/(a^2+b^2)(0<θ<π/2), ∴ cosθ=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)。下面用数学归纳法证明之: (1) A1=2ab为整数。
  A2=4ab(a^2-b^2)为整数。 (2) 假设n=k,n=k-1(k≥2)时,Ak=(a^2+b^2)^k*sin(kθ),A(k-1)=(a^2+b^2)^(k-1)*sin[(k-1)θ]为整数。
     则当n=k+1时, ∵ 2(a^2+b^2)·cosθ·Ak=(a^2+b^2)^(k+1)*2sin(kθ)cosθ =(a^2+b^2)^(k+1)[sin(k+1)θ+sin(k-1)θ] =A(k+1)+(a^2+b^2)^2·A(k-1),即 A(k+1)=2(a^2+b^2)·cosθ·Ak-(a^2+b^2)^2·A(k-1) =2(a^2-b^2)Ak-(a^2+b^2)^2·A(k-1), ∵ 2(a^2-b^2),Ak,-(a^2+b^2)^2,A(k-1)均为整数, ∴ A(k+1)为整数。
     由数学归纳法原理知,对一切n∈N*,An均为整数。。

提交

T***

2011-04-22

51 0

已知a、b均为正整数,且a>b,sinθ=2ab/(a^2+b^2)(0=(a^2+b^2)^(k+1)*sin[(k+1)θ] =(a^2+b^2)^(k+1)*[sinkθ*cosθ+coskθsinθ] =

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