函数的概念

已知函数f（x）=x2－ax，g

解： (1) f(x)-g(x)=x²-ax-lnx, x∈(0,+∞) f(x)≥g(x) 即 x²-ax≥lnx 即 (x²-lnx)/x≥a 只需求出(x²-lnx)/x的最小值即可 设Q(x)=(x²-lnx)/x 则Q'(x)=(x²+lnx-1)/x² 再令P(x)=x²+lnx-1 P'(x)=2x+1/x＞0 即P(x)为增函数, 而P(1)=0 则当x=1时H'(x)=0 当x＞1时, P(x)＞P(1)=0, 则Q'(x)＞0, 单调递增 当0＜x＜1时, P(x)＜P(1)=0, 则Q'(...全部

  解： (1) f(x)-g(x)=x²-ax-lnx, x∈(0,+∞) f(x)≥g(x) 即 x²-ax≥lnx 即 (x²-lnx)/x≥a 只需求出(x²-lnx)/x的最小值即可 设Q(x)=(x²-lnx)/x 则Q'(x)=(x²+lnx-1)/x² 再令P(x)=x²+lnx-1 P'(x)=2x+1/x＞0 即P(x)为增函数, 而P(1)=0 则当x=1时H'(x)=0 当x＞1时, P(x)＞P(1)=0, 则Q'(x)＞0, 单调递增 当0＜x＜1时, P(x)＜P(1)=0, 则Q'(x)＜0, 单调递减 故x=1是Q(x)的极小值点, 也是其最小值点, 最小值为Q(1)=1 ∴a≤1 (2) h(x)=f(x)+g(x)=x²-ax+lnx h'(x)=2x-a+1/x=(2x²-ax+1)/x 因为有两个极值点则2x²-ax+1=0有两个实数根 a²-8＞0 ==> a²＞8 x1+x2=a/2, x1x2=1/2 ==> x1, x2＞0 解得x=[a+√(a²+8)]/4, [a-√(a²+8)]/4 显然x1=[a+√(a²+8)]/4 `h(x1)-h(x2)-3/4+ln2 =(x1²-x2²)-a(x1-x2)+ln(x1/x2)-3/4+ln2 =(x1+x2)²-2x1x2-a√[(x1+x2)²-2x1x2]+ln(2x1²x2/x2)-3/4+ln2 =a²/4-7/4-a√(a²-4)/2+ln{[a+√(a²+8)]/2}²+ln2 ＞1/4-a²/4+ln{[a+√(a²+8)]/2}²+ln2 ＞1/4-8/4+ln(√2+2)²+ln2 ＞-7/4+2+ln2 ＞0 综上得证。
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