已知a、b、c∈R+,求证√(a^2+b^2+c^2)/3≥(a+b+c)/3

高中数学已知a?b?c,求证：a

(1)a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2 =a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c) =a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c) =(b-c)(a^2-ac-ab+bc) =(b-c)[a(a-c)-b(a-c)] =(b-c)(a-b)(a-c) 因为a>b>c， 所以b-c>0, a-b>0, a-c>0, 所以(b-c)(a-b)(a-c)>0, 即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2>0, 所以a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2 (2)(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)=(b...全部

  (1)a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2 =a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c) =a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c) =(b-c)(a^2-ac-ab+bc) =(b-c)[a(a-c)-b(a-c)] =(b-c)(a-b)(a-c) 因为a>b>c， 所以b-c>0, a-b>0, a-c>0, 所以(b-c)(a-b)(a-c)>0, 即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2>0, 所以a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2 (2)(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)=(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2)/abc 下面证明单独证明分子b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2 b^2*c^2+a^2*b^2+a^2*c^2 =1/2*(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+a^2*c^2) ≥1/2*(2acb^2+2bca^2+2abc^2) (利用均值不等式, a=b=c时取等号) =acb^2+bca^2+abc^2 =abc*(a+b+c) 所以(bc/a)+(ca/b)+(ab/c) =(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2)/abc ≥abc*(a+b+c)/abc=a+b+c (a=b=c时取等号) 所以(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)≥a+b+c 得证 。
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