已知x、y、z＞0,且3^x=4^y=6^z.
(1)证明:1/(2y)=1/z-1/x; (2)试比较3x、4y、6z的大小.
全部回答
证明:
(1)设3^x=4^y=6^z=k
因x属于(0,+无穷),故
k>1,且
{x=lgk/lg3,y=lgk/lg4,z=lgk/lg6}。
所以,
1/z-1/x=lg6/lgk-lg3/lgk
=lg2/lgk
=1/2*lg4/lgk
=1/2*1/y
即1/(2y)=1/z-1/x。
(2)由上知, {3x=3lgk/lg3,4y=4lgk/lg4,6z=6lgk/lg6} 因k>1,即lgk>0,所以 6/lg6-4/lg4=(lg4^6-lg6^4)/(lg6lg4)>0 --->6z>4y; 4/lg4-3/lg3=(lg3^4-lg4^3)/(lg3lg4)>0 --->4y>3x 因此,3x<4y<6z。
。
(2)由上知, {3x=3lgk/lg3,4y=4lgk/lg4,6z=6lgk/lg6} 因k>1,即lgk>0,所以 6/lg6-4/lg4=(lg4^6-lg6^4)/(lg6lg4)>0 --->6z>4y; 4/lg4-3/lg3=(lg3^4-lg4^3)/(lg3lg4)>0 --->4y>3x 因此,3x<4y<6z。
。
1)令3^x-4^y=6^z=t》1,则xlog(t)3=ylog(t_y=zlog(t)6=1
因此1/x=log(t)3,1/y=log(t)4,1/z=log(t)6
1/z-1/x=log(t)6-log(t)3=log(t)(6/3)=log(t)2
1/(2y)=[log(t)4]/2==log(t)√4=log(t)2
∴1/(2y)=1/z-1/x。
2)考虑函数y=x^(1/x)[lny=(lnx)/x| y'/y=(1/x*x-1*lnx)/x^2=(1-lnx)/x^2 ---=3>e时lnx>1--->1-lnxe是函数y=x^(1/x)递减于是 3^(1/3)8^(1/6) --->log(t)3^(1/3)>log(t)4^(1/4(>log(t)6^(1/6) --->(1/3)log(t)3>(1/4)log(t)4>(1/6)log(t)6 --->1/(2x)>1/(4y)>1/(6z) --->3x<4y<6z。
。
2)考虑函数y=x^(1/x)[lny=(lnx)/x| y'/y=(1/x*x-1*lnx)/x^2=(1-lnx)/x^2 ---=3>e时lnx>1--->1-lnxe是函数y=x^(1/x)递减于是 3^(1/3)8^(1/6) --->log(t)3^(1/3)>log(t)4^(1/4(>log(t)6^(1/6) --->(1/3)log(t)3>(1/4)log(t)4>(1/6)log(t)6 --->1/(2x)>1/(4y)>1/(6z) --->3x<4y<6z。
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