数学

已知x、y、z∈R，且x+y+z

令x=1，y=z=-1，则 x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)=-1/2。 猜想最小值为:-1/2。 只需证:x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2 ↔(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(z-1)^2/(z^2+1)……① 注意到z(x+y-1)=x+y-xy(条件式变形)， 若x+y-1=0，则x+y=xy=1，矛盾。 故x+y-1≠0，于是，z=(x+y-xy)/(x+y-1)。 代回①得， (x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(xy-1)^2/[(x+y-1...全部

  令x=1，y=z=-1，则 x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)=-1/2。 猜想最小值为:-1/2。 只需证:x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2 ↔(x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(z-1)^2/(z^2+1)……① 注意到z(x+y-1)=x+y-xy(条件式变形)， 若x+y-1=0，则x+y=xy=1，矛盾。
   故x+y-1≠0，于是，z=(x+y-xy)/(x+y-1)。 代回①得， (x+1)^2/(x^2+1)+(y+1)^2/(y^2+1)≥(xy-1)^2/[(x+y-1)^2+(x+y-xy)^2]……② 依Cauchy不等式知， ②左边≥[(1+x)(1-y)+(1+y)(1-x)]^2/[(1+x^2)(1-y)^2+(1+y^2)(1-x)^2] ↔f(x)=(y^2-3y+3)x^2-(3y^2-8y+3)x+(3y^2-3y+1)≥0。
   因△=(3y^2-8y+3)^2-4(y^2-3y+3)(3y^2-3y+1) =-3(y^2-1)^2 ≤0， 故f(x)≥0恒成立，即猜想成立， ∴x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥-1/2。
   柳树方法很愚，期待欣赏到高手简洁优美的方法。收起