请证明互质数

请证明两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数.

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2010-10-09

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M和N互质，则M+N和M或N也互质。反证法：若M+N和M不互质，则有公约数K，且存在正整数P，Q，使M+N=PK，M=QK。所以N=(M+N)-M=PK-QK=(P-Q)K，说明K是M和N的公约数，这与题意条件【M和N互质】矛盾。于是可以得到结论【M+N和M或N也互质】。

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w***

2010-10-09

269 0

设a、b互质，证明a与a-b互质。证明：反证法假设a与a-b不互质，则a与a-b有大于1的公因子d，即 d|a且d|（a-b）于是存在整数e、f（e>f否则b<=0)使得 a=d*e;a-b=d*f; 于是b=d*（e-f）所以d|b；即d为a、b的公因子，与a、b互质矛盾，所以假设不成立。（b与a-b互质证明相同）

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学***

2010-10-09

272 0

     设:两个互质数分别是X,Y。X+Y=Z;X-Y=C。(X>Y);求证:Z与X,Y互质;C与X,Y互质。 (1)两个互质数分别是X,Y。X+Y=Z ---> X(不≡)Z （mod X）--> X与Z互质! Y(不≡)Z （mod Y）--> Y与Z互质! (2)两个互质数分别是X,Y。
    X-Y=C ---> X(不≡)C （mod X）--> X与C互质! Y(不≡)C （mod Y）--> Y与C互质! 故:(1)与(2)--->两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数。

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