高二理科题（135）

椭圆x的平方/25+y的平方/9=1上到两焦点距离之积最小的点的坐标是？

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2010-08-23

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x^2/25+y^2/9=1 可知a^2=25，a=5，b^2=9，b=3，c^2=a^2-b^2=16，c=4 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a 设某点到两焦点的距离分别是m,n，则有 m+n=2a=10 由基本不等式得 mn=m(10-m)=-m^2+10m=-(m-5)^2+25 因为m>=a-c=1 所以当m=1时，mn取最小值此时，某点即是椭圆的左顶点和右顶点所以到两焦点距离之积最小的坐标是(-5,0),(5,0) 。

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柳***

2010-08-23

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解: 很易求得椭圆两焦点分别为F1(-4,0)、F2(4,0)。 (y^2/9)=1-(x^2/25)>=0 --->-5==(x+4)(x-4)+y^2 =x^2-16+(1-x^2/25)*9 =(16/25)x^2-7 故x=-5,或x=5时 |PF1|*|PF2|>=(16/25)*(士5)^2-7=9 上式取等号,即x=-5或5时,|PF1|*|PF2|最小值为9。
此时点P为(-5,0)、(5,0),即P为长轴的两端点。

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