不等式题
不等式的两个题烦看附件。谢谢
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1。4与x的平方的差的算术根不小于k(x+3)与3倍的根3的差。解集为[m,n],若m-n=3,求k
解：方程y=√(4-x^2),表示上半圆，其圆心是O(0,0),半径r=2。
直线y=k(x+3)-3√3与O的距离d=|3k-3√3|/√(1+k^2), 它被半圆截得的弦长l=|n-m|√（1+k^2）=3√(1+k^2)。 由熟知的等式(l/2)^2+d^2=r^2得9/4*(1+k^2)+(9k^2-18k√3+27)/(1+k^2)=4, 化简得9(1+k^2)^2+36k^2-72k√3+108=16+16k^2, 9k^4+38k^2-72k√3+101=0，记左边为f(k)。
f’(k)=36k^3+76k-72√3，令f’(k)=0,得9k^3+19k-18√3=0，k≈1。16， f(1。16)≈23。7，∴f(k)=0无实根。本题无解。
2。。已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=2 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解：(1)由f(sina)=2得f(1)>=2,矛盾。 把题目改为： 已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=0 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解：(1)依题意f(1)=0,∴p+q=-1。 (2)f(-1)=1-p+q=0, 相减得8+4p>=0,p>=-2。为所求。 (3)-p/21时递增， 由f(sina+2)的最大值是14，及(1),得f(3)=8+2p=14,p=3。
这时，f(x)=x^2+3x-4=(x+3/2)^2-25/4, ∴f(sina)的最小值=f(-1)=-6。 。
直线y=k(x+3)-3√3与O的距离d=|3k-3√3|/√(1+k^2), 它被半圆截得的弦长l=|n-m|√（1+k^2）=3√(1+k^2)。 由熟知的等式(l/2)^2+d^2=r^2得9/4*(1+k^2)+(9k^2-18k√3+27)/(1+k^2)=4, 化简得9(1+k^2)^2+36k^2-72k√3+108=16+16k^2, 9k^4+38k^2-72k√3+101=0，记左边为f(k)。
f’(k)=36k^3+76k-72√3，令f’(k)=0,得9k^3+19k-18√3=0，k≈1。16， f(1。16)≈23。7，∴f(k)=0无实根。本题无解。
2。。已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=2 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解：(1)由f(sina)=2得f(1)>=2,矛盾。 把题目改为： 已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=0 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解：(1)依题意f(1)=0,∴p+q=-1。 (2)f(-1)=1-p+q=0, 相减得8+4p>=0,p>=-2。为所求。 (3)-p/21时递增， 由f(sina+2)的最大值是14，及(1),得f(3)=8+2p=14,p=3。
这时，f(x)=x^2+3x-4=(x+3/2)^2-25/4, ∴f(sina)的最小值=f(-1)=-6。 。
sina不一定是任意角
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2010-08-25
说明：只讨论第二题。
我不认同楼上所说得矛盾。对于sina=-1,f(sina)=2并没有矛盾，
sina=1时也是如此。
sina=-1，1分别对应的是两个f函数。 2。 。已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=2 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解： 1) -------------- f(x)=x^2+px+q 有f(x)实数解，有 p^2-4q>=0 (1) f(sina)=(sina)^2+psina+q (2) 由f(sina)=2得 (sina+2)^2+p(2+sina)+q>=2 整理 (sina)^2+(p+4)sina+2p+q+2>=0 (4) 或写作 ((sina)^2+psina+q)+2sina+p+1>=0 由（2）及上式知 2sina+p+1>=0 （5） ----------------- 2)由（5）得，p>=-1-2sina p>=-3 (6) ------------------------- 3) ------------------------------- 命 g(a)=f(sina+2)=(sina)^2+(p+4)sina+2p+q+4 (7) 依题不妨设 -1=0 由 cosa=0得 a=pi/2 （注： g‘>=0,是递增函数） (11) 由题设g(a)的最大值为14,这要求 g''(0)=-2-(p+4)-6 (13) (6) 式满足（13）的要求。
g(pi/2)=1+(p+4)+2p+q+4 =3p+q+9 由p^2>=4q知道 g(pi/2)在 q=p^2/4>0时有最大值， 3p+1/4*p^2+9=14 p^2+12p-20=0 p=[-12+sqt(12^2+4*20)]/2 =-6+2sqt(14)>0 此时f(sina）的最小值为0。
。
sina=-1，1分别对应的是两个f函数。 2。 。已知f(x)=x^2+px+q,f(sina)=2 （1）求p,q之间的关系式 ，（2）求p的范围， （3）如果f(sina+2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sina)的最小值。
解： 1) -------------- f(x)=x^2+px+q 有f(x)实数解，有 p^2-4q>=0 (1) f(sina)=(sina)^2+psina+q (2) 由f(sina)=2得 (sina+2)^2+p(2+sina)+q>=2 整理 (sina)^2+(p+4)sina+2p+q+2>=0 (4) 或写作 ((sina)^2+psina+q)+2sina+p+1>=0 由（2）及上式知 2sina+p+1>=0 （5） ----------------- 2)由（5）得，p>=-1-2sina p>=-3 (6) ------------------------- 3) ------------------------------- 命 g(a)=f(sina+2)=(sina)^2+(p+4)sina+2p+q+4 (7) 依题不妨设 -1=0 由 cosa=0得 a=pi/2 （注： g‘>=0,是递增函数） (11) 由题设g(a)的最大值为14,这要求 g''(0)=-2-(p+4)-6 (13) (6) 式满足（13）的要求。
g(pi/2)=1+(p+4)+2p+q+4 =3p+q+9 由p^2>=4q知道 g(pi/2)在 q=p^2/4>0时有最大值， 3p+1/4*p^2+9=14 p^2+12p-20=0 p=[-12+sqt(12^2+4*20)]/2 =-6+2sqt(14)>0 此时f(sina）的最小值为0。
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