初三代数设X,Y,Z为任意实数,求证:√(X^2+XY+Y^2)+√(X^2+XZ+Z^2)＞√(Y^2+YZ+Z^2)
X,Y,Z为任意实数,
√(X^2+XY+Y^2)+√(X^2+XZ+Z^2)≥√(Y^2+YZ+Z^2)
仅就Y,Z异号或0给出证明如下(同号时可用类似方法)
不妨设Y=0
构造直线t=√3X,
在直线上有动点A(-Y,-√3Y)和BB(-Z,-√3Z)分别在X轴两侧
在X轴上有动点P(X,0),
取OA中点A1(-Y/2,-√3Y/2),OB中点B1(-Z/2,-√3Z/2)
则不等式左边=|PA1|+|PB1|。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(*)
对于任意的Y,Z,|PA1|+|PB1|>=|A1B1|,
过A作AQ⊥X轴于Q,作Q关于纵轴的对称点Q1
则Q1(Y,...全部
X,Y,Z为任意实数,
√(X^2+XY+Y^2)+√(X^2+XZ+Z^2)≥√(Y^2+YZ+Z^2)
仅就Y,Z异号或0给出证明如下(同号时可用类似方法)
不妨设Y=0
构造直线t=√3X,
在直线上有动点A(-Y,-√3Y)和BB(-Z,-√3Z)分别在X轴两侧
在X轴上有动点P(X,0),
取OA中点A1(-Y/2,-√3Y/2),OB中点B1(-Z/2,-√3Z/2)
则不等式左边=|PA1|+|PB1|。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(*)
对于任意的Y,Z,|PA1|+|PB1|>=|A1B1|,
过A作AQ⊥X轴于Q,作Q关于纵轴的对称点Q1
则Q1(Y,0)
不等式右边=|Q1B1|。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
(**)
当B1不在原点
若∠QQ1B1为钝角或直角,显然|QB1|>=|Q1B1|
若∠QQ1B1为锐角,设直线Q1B1与综轴交于点S
则Q1SQ为等腰三角形,∠QQ1B1=∠Q1QS>∠Q1QB1
所以|QB1|>|Q1B1|
当B1在原点,|QB1|=|Q1B1|
所以|QB1|>=|Q1B1|
当A不在原点
|OQ|=|Y|=|OA1|,△OQA1为等边三角形
∠A1QB1>=∠A1QO=∠QA1B1
|A1B1|>=|QB1|
当A在原点,A1在原点,Q在原点
|A1B1|=|QB1|
所以|A1B1|>=|QB1|
|PA1|+|PA2|>=|A1B1|>=|QB1|>=|Q1B1|
根据(*)(**)知:
√(X^2+XY+Y^2)+√(X^2+XZ+Z^2)≥√(Y^2+YZ+Z^2)
等号成立的条件是X=0,Y,Z中至少1个为0
。收起
