中线三角形问题
命题: 直角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设RtΔABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,Δ为RtΔABC的外接圆半径和面积。 而以RtΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。显然Δm=3Δ/4。命题转化:
Rm≥5R/6 (1)
根据三角形恒等式:abc=4R*Δ，ma*mb*mc=4Rm*Δm。 故只需证明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3)
不失一般性，设 a^2=b^2+c...全部
命题: 直角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设RtΔABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,Δ为RtΔABC的外接圆半径和面积。
而以RtΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。显然Δm=3Δ/4。命题转化:
Rm≥5R/6 (1)
根据三角形恒等式:abc=4R*Δ，ma*mb*mc=4Rm*Δm。
故只需证明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3)
不失一般性，设 a^2=b^2+c^2，据三角形中线公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2=b^2+c^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2=4c^2+b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=4b^2+c^2，
所以(3)式等价于:
(4c^2+b^2)*(4b^2+c^2)≥25*b^2*c^2 (4)
(4) 4*(b^2-c^2)^2≥0。
显然成立，当三角形三角之比为:2:1:1时等号成立。
。收起
