微积分在建筑工程造价里的应用微积
1。1。1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
1。1。2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函数=(Q)=C(Q)Q;边际成本函数C’=C’(Q).C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为:当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个...全部
1。1。1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
1。1。2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函数=(Q)=C(Q)Q;边际成本函数C’=C’(Q).C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为:当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1。1。3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q);平均收益函数=(Q);边际收益函数R’=R’(Q).
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为:当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1。1。4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q)。L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是:当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1 某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解:每月生产Q吨产品的总收入函数为:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);
L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);
以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢?
1。2 弹性在经济分析中的应用
1。2。1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。
记为EyEx•EyEx=limδx→0
ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx.xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f(x)在点x=x0处的弹性值,简称弹性。
EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f(x)近似地改变EExf(x0)%。
1。2。2 需求弹性
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f(P)(或P=P(Q)),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)(或P=P(Q))为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数;(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解:(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5。pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0。6;η(5)=55=1;η(6)=65=1。2
η(3)=0。
61,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1。2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1。2。3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益弹性为EREP=R’(P)。
PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是:在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。
(1)若η0价格上涨(或下跌)1%,收益增加(或减少)(1-η)%;
(2)若η>1,则EREP0,n>0,p>0),(1)问每批生产多少单位时,使平均成本最小?(2)求最小平均成本和相应的边际成本。
解:(1)平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n
令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最小。
(2)(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)。收起