数列

数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=(n+2)/(n)Sn（=1，2,3，...），证明：（1）数列｛Sn/n｝是等比数列; (2)Sn+1=4an

全部回答

2010-05-08

0 0

证：(1)由已知得a=[(n+1)/(n-1)]S 代入a=S-S，得 [(n+1)/(n-1)]S=S-S，整理得S=[2n/(n-1)]S，递推 S=[2(n-1)/(n-2)]S， S=[2(n-2)/(n-3)]S， … S=4S，上面(n-1)式左右端分别相乘，得 SS…S =[2n/(n-1)][2(n-1)/(n-2)]…4S…SS 即S=n2^(n-1)S=n2^(n-1)a=n2^(n-1) S/n=2^(n-1)，即数列{S/n}是等比数列 (2)由(1)得a=[(n+2)/n]n2^(n-1)=(n+2)2^(n-1) 则a=(n+1)2^(n-2)，而S=(n+1)2^n 所以S=4a。
。

提交