高中导数问题

已知函数).若曲线在处的切线的方程为,求实数的值;求证:恒成立的充要条件是;若,...

根据导数的几何意义求出函数在处的导数,从而求出切线的斜率,建立等式关系即可求出的值;先证充分性,当时,利用导数研究函数的最小值即可,然后证明必要性,讨论的符号使恒成立,求出的值即可;设,则等价于函数在区间上是减函数即使在上恒成立,然后利用分离法将分离出来,从而求出的范围。 解:,曲线在处的切线的斜率为曲线在处的切线的方程为,,解得充分性当时,,当时,,所以函数在上是增函数,当时,,所以函数在上是减函数,必要性,...全部

  根据导数的几何意义求出函数在处的导数,从而求出切线的斜率,建立等式关系即可求出的值;先证充分性,当时,利用导数研究函数的最小值即可,然后证明必要性,讨论的符号使恒成立,求出的值即可;设,则等价于函数在区间上是减函数即使在上恒成立,然后利用分离法将分离出来,从而求出的范围。
   解:,曲线在处的切线的斜率为曲线在处的切线的方程为,,解得充分性当时,,当时,,所以函数在上是增函数,当时,,所以函数在上是减函数,必要性,其中当时,恒成立,所以函数在上是增函数而,所以当时,,与恒成立相矛盾不满足题意。
  当时,时,,所以函数在上是增函数;时,,所以函数在上是减函数;,所以当时,,此时与恒成立相矛盾综上所述,恒成立的充要条件是;由可知,当时,函数在上是增函数,又函数在上是减函数不妨设则,即设,则等价于函数在区间上是减函数因为,所以在上恒成立,即在上恒成立,即不小于在内的最大值。
  而函数在是增函数,所以的最大值为所以,又,所以。
   本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及充要条件的证明和恒成立问题的应用,同时考查了计算能力,转化与划归的思想,属于中档题。收起