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数列极限

设x1=10,xn+1=2次根号下(6+xn) n=1,2,3... 证明数列{xn}的极限存在,并且求此数列的极限。 谢谢!

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2009-11-01

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  解:因为x1=10>3,x2=4>3,猜想xn>3 用数学归纳法证明,假设xn>3 证明x(n+1)=√(6+xn)>√9=3 ∴xn>3 xn有下界 x(n+1)^2-xn^2=-xn^2+xn+6=-(xn+2)(xn-3)<0 ∴x(n+1)<xn xn是递减数列,且有下界,所以数列xn极限存在 设limxn=I 则I=√(6+I) 解得I=3(I=-2舍去) ∴lim(n→∞)xn=3。
  

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