一道数学难题

设a,b,c,R,r分别为满足A=max(A,B,C)的△ABC的三边长，外接圆与内切圆的半径。则△ABC为锐角三角形的充要条件是:R+r≤(b+c)/2。

全部回答

2009-10-30

0 0

    设a,b,c,R,r分别为满足A=max(A,B,C)的△ABC的三边长，外接圆与内切圆的半径。则△ABC为锐角三角形的充要条件是:R+r≤(b+c)/2。下证更一般结论。
   设P=b+c-2(R+r) ，由正弦定理和三角形恒等式: cosA+cosB+cosC=(R+r)/R，得: P=2R(sinB+sinC-cosA-cosB-cosC) =2R{2cos(A/2)*cos[(B-C)/2]-2sin(A/2)*cos[(B-C)/2] -[cos(A/2)]^2+[sin(A/2)]^2} =2R[cos(A/2)-sin(A/2)]*{2cos[(B-C)/2]-cos(A/2)-sin(A/2)} 记Q=2cos[(B-C)/2]-cos(A/2)-sin(A/2) Q=cos[(B-C)/2]-cos[(π-B-C)/2]+cos[(B-C)/2]-cos[(B+C)/2] =2sin[(π-2B)/2]*sin[(π-2C)/2]+2sin(B/2)*sin(C/2)>0。
     P=2R*[cos(A/2)-sin(A/2)]*Q 故当cos(A/2)>sin(A/2) A0; 故当cos(A/2)=sin(A/2) A=π/2时，P=0; 故当cos(A/2) A>π/2时，P<0; 。

提交

德***

2009-10-30

51 0

证明设2s=a+b+c。对于锐角△ABC，总存在: cosA*cosB*cosC>0 (1) 不等式(1)展开化简等价于 s>2R+r (2) 在锐角△ABC中，A=maX(A,B,C)，则 b^2+c^2>a^2 (3) (3) b^2+2bc+c^2-a^2>a^2-b^2-c^2+2bc 4s(s-a)]>4(s-b)*(s-c), √[(s-a)*s]>√[(s-b)*(s-c)], s-a>√[(s-a)*(s-b)*(s-c)/s], 根据恒等式:r=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)/s],b+c=s+s-a s-a>r s+s-a>r+s b+c>r+s>2R+2r 故命题得证。
。

提交

l***

2009-10-30

49 0

    证：若△ABC为锐角三角形，则(a+b+c)/2>2R+r,a/2R+r。若△ABC为直角三角形，则(a+b+c)/2=2R+r,a/2=R, 两式相减得(b+c)/2=R+r。
  。若A>90°，则cos(A/2)<sin(A/2),半周长s<2R+r, (b+c)/2=R(sinB+sinC)=2Rsin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=2Rcos(A/2)[cos(B/2)cos(C/2)+sin(B/2)sin(C/2)] <2R[Пcos(A/2)+Пsin(A/2)]=2(s/4+r/4)<R+r。
     这里П表示循环积。Пcos(A/2)=s/(4R),Пsin(A/2)=r/(4R)是恒等式。综上，△ABC为锐角三角形的充要条件是:R+r<(b+c)/2。
   。

一道数学难题

全部回答

相关回答

数学难题设三角形ABC和三角形A

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

热点搜索换一换

一道数学难题

全部回答

相关回答

数学难题设三角形ABC和三角形A

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

热点搜索 换一换

热点搜索换一换