如图,在梯形ABCD中，AD∥B
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上，直角的一边经过顶点A，它的另一边与BC交于E，已知AD=2，AB=4，BC=5。CD=5
（1）。FA=FE，求DF的长。
如图
过点D作BC的垂线，垂足为G；过点F作AD的垂线，垂足为P，且FP的反向延长线交BC于点Q
设PF=x
因为梯形ABCD为直角梯形，且AB=4，AD=2，BC=CD=5
所以，四边形ABGD为矩形
那么，DG=AB=4，BE=AD=2
则，CG=BC-BG=5-2=3
因为DP//BC
所以，∠PDF=∠C
那么，Rt△PDF∽Rt△GCD
则：PD/GC=PF/GD=DF/C...全部
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上，直角的一边经过顶点A，它的另一边与BC交于E，已知AD=2，AB=4，BC=5。CD=5
（1）。FA=FE，求DF的长。
如图
过点D作BC的垂线，垂足为G；过点F作AD的垂线，垂足为P，且FP的反向延长线交BC于点Q
设PF=x
因为梯形ABCD为直角梯形，且AB=4，AD=2，BC=CD=5
所以，四边形ABGD为矩形
那么，DG=AB=4，BE=AD=2
则，CG=BC-BG=5-2=3
因为DP//BC
所以，∠PDF=∠C
那么，Rt△PDF∽Rt△GCD
则：PD/GC=PF/GD=DF/CD
即，PD/3=x/4=DF/5
则，PD=(3/4)x，DF=(5/4)x
那么，AP=AD+PD=2+(3/4)x……………………………………（1）
四边形ABQP也是矩形，所以：PQ=AB=4
所以，FQ=PQ-FP=4-x…………………………………………（2）
已知AF⊥EF
那么，∠AFP+∠EFQ=90°
而，∠AFP+∠PAF=90°
所以，∠EFQ=∠PAF
已知AF=FE
∠APF=∠FQE=90°
所以，Rt△APF≌Rt△FQE（AAS）
所以，AP=FQ……………………………………………………（3）
由(1)(2)(3)知，2+(3/4)x=4-x
===> (7/4)x=2
===> x=8/7
那么，DF=(5/4)x=(5/4)*(8/7)=10/7
（3）。
如果△CEF是以CF为腰的等腰三角形，求DF的长。
如右图
作同样上述辅助线，且设PF=x
同样的有：
PD=(3/4)x，DF=(5/4)x
那么，AP=AD+PD=2+(3/4)x，CF=CD-DF=5-(5/4)x
而FQ⊥BC，DG⊥BC
所以，△CFQ∽△CDG
所以，CQ/CG=FQ/DG
即，CQ/3=(4-x)/4
所以，CQ=3*(4-x)/4=3-(3/4)x
而，Rt△APF∽Rt△FQE【注意；此时只是相似，而非全等！】
所以：AP/FQ=PF/EQ
即，[2+(3/4)x]/(4-x)=x/EQ
所以，EQ=[2+(3/4)x]*x/(4-x)
已知△CEF是以CF为腰的等腰三角形，那么：
①若△CEF中CF=EF
因为FQ⊥BC，CF=EF
所以，点Q为CE中点
则，CQ=EQ
所以：3-(3/4)x=[2+(3/4)x]*x/(4-x)
===> [3-(3/4)x]*(4-x)=[2+(3/4)x]*x
===> 12-3x-3x+(3/4)x^2=2x+(3/4)x^2
===> 12=8x
===> x=12/8=3/2
此时，DF=(5/4)x=(5/4)*(3/2)=15/8
②若△CEF中，CF=CE
即：5-(5/4)x=[3-(3/4)x]+[2+(3/4)x]*x/(4-x)
===> [5-(5/4)x]*(4-x)=[3-(3/4)x]*(4-x)+[2+(3/4)x]*x
===> 20-5x-5x+(5/4)x^2=12-3x-3x+(3/4)x^2+2x+(3/4)x^2
===> (5/4)x^2-10x+20=12-4x+(3/2)x^2
===> (3/2)x^2-(5/4)x^2+6x-8=0
===> 6x^2-5x^2+24x-32=0
===> x^2+24x-32=0
===> x=(-24+8√11)/2【其中x=(-24-8√11)/2＜0，舍去】
即，x=4(√11-3)
此时，DF=(5/4)x=4(√11-3)*(5/4)=5(√11-3)。收起
