如图,在梯形ABCD中,AD∥B
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上,直角的一边经过顶点A,它的另一边与BC交于E,已知AD=2,AB=4,BC=5。CD=5
(1)。FA=FE,求DF的长。
如图
过点D作BC的垂线,垂足为G;过点F作AD的垂线,垂足为P,且FP的反向延长线交BC于点Q
设PF=x
因为梯形ABCD为直角梯形,且AB=4,AD=2,BC=CD=5
所以,四边形ABGD为矩形
那么,DG=AB=4,BE=AD=2
则,CG=BC-BG=5-2=3
因为DP//BC
所以,∠PDF=∠C
那么,Rt△PDF∽Rt△GCD
则:PD/GC=PF/GD=DF/C...全部
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上,直角的一边经过顶点A,它的另一边与BC交于E,已知AD=2,AB=4,BC=5。CD=5
(1)。FA=FE,求DF的长。
如图
过点D作BC的垂线,垂足为G;过点F作AD的垂线,垂足为P,且FP的反向延长线交BC于点Q
设PF=x
因为梯形ABCD为直角梯形,且AB=4,AD=2,BC=CD=5
所以,四边形ABGD为矩形
那么,DG=AB=4,BE=AD=2
则,CG=BC-BG=5-2=3
因为DP//BC
所以,∠PDF=∠C
那么,Rt△PDF∽Rt△GCD
则:PD/GC=PF/GD=DF/CD
即,PD/3=x/4=DF/5
则,PD=(3/4)x,DF=(5/4)x
那么,AP=AD+PD=2+(3/4)x……………………………………(1)
四边形ABQP也是矩形,所以:PQ=AB=4
所以,FQ=PQ-FP=4-x…………………………………………(2)
已知AF⊥EF
那么,∠AFP+∠EFQ=90°
而,∠AFP+∠PAF=90°
所以,∠EFQ=∠PAF
已知AF=FE
∠APF=∠FQE=90°
所以,Rt△APF≌Rt△FQE(AAS)
所以,AP=FQ……………………………………………………(3)
由(1)(2)(3)知,2+(3/4)x=4-x
===> (7/4)x=2
===> x=8/7
那么,DF=(5/4)x=(5/4)*(8/7)=10/7
(3)。
如果△CEF是以CF为腰的等腰三角形,求DF的长。
如右图
作同样上述辅助线,且设PF=x
同样的有:
PD=(3/4)x,DF=(5/4)x
那么,AP=AD+PD=2+(3/4)x,CF=CD-DF=5-(5/4)x
而FQ⊥BC,DG⊥BC
所以,△CFQ∽△CDG
所以,CQ/CG=FQ/DG
即,CQ/3=(4-x)/4
所以,CQ=3*(4-x)/4=3-(3/4)x
而,Rt△APF∽Rt△FQE【注意;此时只是相似,而非全等!】
所以:AP/FQ=PF/EQ
即,[2+(3/4)x]/(4-x)=x/EQ
所以,EQ=[2+(3/4)x]*x/(4-x)
已知△CEF是以CF为腰的等腰三角形,那么:
①若△CEF中CF=EF
因为FQ⊥BC,CF=EF
所以,点Q为CE中点
则,CQ=EQ
所以:3-(3/4)x=[2+(3/4)x]*x/(4-x)
===> [3-(3/4)x]*(4-x)=[2+(3/4)x]*x
===> 12-3x-3x+(3/4)x^2=2x+(3/4)x^2
===> 12=8x
===> x=12/8=3/2
此时,DF=(5/4)x=(5/4)*(3/2)=15/8
②若△CEF中,CF=CE
即:5-(5/4)x=[3-(3/4)x]+[2+(3/4)x]*x/(4-x)
===> [5-(5/4)x]*(4-x)=[3-(3/4)x]*(4-x)+[2+(3/4)x]*x
===> 20-5x-5x+(5/4)x^2=12-3x-3x+(3/4)x^2+2x+(3/4)x^2
===> (5/4)x^2-10x+20=12-4x+(3/2)x^2
===> (3/2)x^2-(5/4)x^2+6x-8=0
===> 6x^2-5x^2+24x-32=0
===> x^2+24x-32=0
===> x=(-24+8√11)/2【其中x=(-24-8√11)/2<0,舍去】
即,x=4(√11-3)
此时,DF=(5/4)x=4(√11-3)*(5/4)=5(√11-3)。收起