(2014?大兴区一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PDC⊥底面ABCD,已知△PDC是等腰直角三角形,其中∠PDC为直角,底面ABCD是边长为2的正方形,E是PC的中点,F是PB上的点.
(Ⅰ)求证:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)若PB=3PF,求证:PB⊥平面EFD;
(Ⅲ)求二面角C-PB-D的大小.
解答:(本题满分14分)(Ⅰ)证明:连结AC交BD于点O,连结EO,因为ABCD是正方形,所以O为AC中点,又因为E为PC中点,所以EO为△CPA的中位线,所以EO∥PA.…(2分)因为EO?平面EDB,PA?平面EDB,所以PA∥平面EDB.…(4分)(Ⅱ)因为侧面PDC⊥底面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,又因为侧面PDC是等腰直角三角形,其中∠PDC为直角,所以PD⊥DC.又PD?平面PCD,所以PD⊥平面ABCD.又AD⊥CD,得DA、DC、DP两两垂直.如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.…(1分)由题意知D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),...全部
解答:(本题满分14分)(Ⅰ)证明:连结AC交BD于点O,连结EO,因为ABCD是正方形,所以O为AC中点,又因为E为PC中点,所以EO为△CPA的中位线,所以EO∥PA.…(2分)因为EO?平面EDB,PA?平面EDB,所以PA∥平面EDB.…(4分)(Ⅱ)因为侧面PDC⊥底面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,又因为侧面PDC是等腰直角三角形,其中∠PDC为直角,所以PD⊥DC.又PD?平面PCD,所以PD⊥平面ABCD.又AD⊥CD,得DA、DC、DP两两垂直.如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.…(1分)由题意知D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1)A (2,0,0),C (0,2,0).设F(x,y,z),由PB=3PF,得:(2,2,-2)=3(x,y,z-2),所以x=23,y=23,z=43,所以F(23,23,43).…(2分)又PB=(2,2,-2),DE=(0,1,1),DF=(23,23,43),所以PB?DE=0,PB?DF=0…(4分) 所以PB⊥DE,PB⊥DF,且DE∩DF于D.所以PB⊥平面EFD.…(5分)(Ⅲ)由(Ⅰ)知 PD⊥平面ABCD,又因为AC?平面ABCD,所以AC⊥PD,又AC⊥BD,所以AC⊥平面PBD.所以平面PBD的法向量是AC=(-2,2,0).…(1分)设平面PBC的法向量n=(x,y,z) 由(Ⅱ)知PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),则有n?PB=0n?PC=0,所以2x 2y-2z=02y-2z=0,令z=1 得n=(0,1,1).…(3分) 则 cos?AC,n>=AC?n|AC|?|n|=-2×0 2×1 0×12。
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