为什么线段是由无数点组成的？
从逻辑上说，任何理论都需要一些做基本的概念和命题作为出发点。点，线，面是欧氏几何最基本的概念，在其理论体系中是作为基础而不加定义的。在几何算术化也就是引进了坐标系以后，点和坐标就对应起来。最简单的坐标系就是数轴。 在确定了长度单位（也就是1在数轴上的位置）以后，我们就可以谈论长度的概念。
数轴上两点a,b(a全部
从逻辑上说，任何理论都需要一些做基本的概念和命题作为出发点。点，线，面是欧氏几何最基本的概念，在其理论体系中是作为基础而不加定义的。在几何算术化也就是引进了坐标系以后，点和坐标就对应起来。最简单的坐标系就是数轴。
在确定了长度单位（也就是1在数轴上的位置）以后，我们就可以谈论长度的概念。
数轴上两点a,b(a 记为[a,b],[a,b),(a,b],或(a,b)，其中[ 或 ]表示包含该端点，( 或 ）表示不包含该端点。区间的长度定义为端点之间的距离。如果用L 表示长度，那么L(a,b)=b-a。点作为一种特殊的区间（左右端点重合），长度为零。
那么由长度为零的点组成的区间为什么长度不为零呢？这就涉及到如何量度一个无穷集的大小的问题。确切地说，是无穷多个集合的并集的长度如何计算的问题。为此，我们首先要知道如何定义一般的集合的长度(姑且把它叫做长度吧)。
推而广之，是如何定义一般集合的面积，体积，或者它们在高维空间的类比。这个衡量一般集合在某种意义上的大小(size)的概念在数学上叫做“测度(measure)”。它最初是由法国数学家昂利 勒贝格(Henri Lebesgue)提出来的。
相应于长度的测度(它是长度概念的推广)称为（直线上的）Lebesgue 测度。是更一般的所谓“正Borel测度”的一个例子。
一般说来，某个集合X上的一个测度 m 就是定义在X的一些(符合一定条件的)子集（在某些时候可以是全部子集)构成的族(family)上的一个非负的函数。
也就是说对每一个（符合条件的）子集 A, 相应的有一个非负的实数 m(A)与其对应。因为函数的自变量是集合而非数，这样的函数有时也被称为“集函数”。
当然，要成为测度，一个集函数还要满足一些条件。
因为测度是长度的推广，长度所有的性质测度也应该都有。这样的话，测度至少要满足下面几条：
1）如果 I 是一个区间，那么 m(I)=L(I);
2）如果 A 是 B 的子集，那么 m(A)<或= m(B);
3）如果集B 是 A 的平移，那么 m(A)=m(B);
4）如果 A 和 B 的交集是空集，那么 A 和 B 的并集的测度
m(AUB)=m(A)+m(B)。
这对有限个互不相交的集合之并也成立。这个条件称为“有限可加性”。
作为一个测度，还要满足一个关键的条件，也就是“可数可加性”。为此，我们先要说明什么是“可数”。
一个无限（或称“无穷”）集称为可数(countable), 如果它和正整数的集合能够一 一对应。
也就是说，它的元素可以象数数一样“数”出来，或者列举出来，所以有时候也称它为“可列集”。除了正整数集自己，有理数集也是可数的。但是任何一个端点不重合的区间都不是可数集，比如区间[0，1]。这可以用著名的康托(Georg Cantor, 德国数学家)对角线法来证明。
这是一个标准的做法，在任何一本关于集合论或实分析的书上都能找到。
现在回到最开始的问题，也就是为什么长度为零的点组成的区间有非零的长度。现在我们可以把“长度”换成“测度”，使表达更为准确。
测度的可数可加性是说，可数（无穷）个不相交的集合之并的测度等于所有这些集合的测度之和。比如[0，1]中有理数的集合可以看成可数个互不相交的单元素集合（每一个集合只包含一个有理数）的并集。因为每个单点集的测度为零，所以可数个单点集的并集的测度仍然是零。
即有理数集的（Lebesgue）测度为零。但是测度的可加性对于不可数个集合的并是不成立的。这里的关键在于，不可能定义一个具有不可数可加性的测度，否则会导致逻辑上的自相矛盾。
所以，最开始的问题的关键，在于我们对“长度”，“面积”，“体积”之类的概念，并没有一个确切的，在数学上可以操作的定义，而只是停留在一些粗略和模糊的认识水平上。
一旦我们把有关概念严格化了，问题也就不存在了。当然，限于篇幅，在这里不可能仔细地把问题完全解释清楚。这需要去学习有关的著作。收起
