求
f(x,y)=x^2+81/(x^2)-2xy+18/x*根号(2-y^2)
的最小值
如果√(2-y²)是在分子上的话，那比较好办
我比较喜欢数形结合的方法
f(x,y)=x²+(81/x²)-2xy+(18/x)*√(2-y²)
用配方法吧
f(x,y)=(x+√2-y²)²+(x-y)²-2
记A(x,9/x),B(y,-√2-y²)
点A落在共轭双曲线y=9/x上，点B落在x²+y²=2的下半圆周上
当A(-1,-1),B(-3,-3)时，AB间的距离最短
fmin(x,y)=f(-3,-1)=8-2=6
补充：
f(x,y)=x²+(81/x²)-...全部
如果√(2-y²)是在分子上的话，那比较好办
我比较喜欢数形结合的方法
f(x,y)=x²+(81/x²)-2xy+(18/x)*√(2-y²)
用配方法吧
f(x,y)=(x+√2-y²)²+(x-y)²-2
记A(x,9/x),B(y,-√2-y²)
点A落在共轭双曲线y=9/x上，点B落在x²+y²=2的下半圆周上
当A(-1,-1),B(-3,-3)时，AB间的距离最短
fmin(x,y)=f(-3,-1)=8-2=6
补充：
f(x,y)=x²+(81/x²)-2xy+(18/x)*√(2-y²)
观察(18/x)*√(2-y²)-2xy
要取得最小值,因为√(2-y²)≥0,且因为x²+81/x²的对称性,所以x应该取负数值,从而当然也希望-2xy越小越好因而y也应该取负的
利用柯西不等式(ac-bd)²≤(a²+b²)*(c²+d²)
当且仅当a/b=-c/d时等号成立即ad=-bc
于是[(18/x)*√(2-y²)-2xy]²≤[(18/x)²+(2x)²]*[2-y²+y²]
=8[x²+(81/x²)]
于是|(18/x)*√(2-y²)-2xy|≤(2√2)*[x²+(81/x²)]^(0。
5)
去掉绝对值得：
(18/x)*√(2-y²)-2xy≥-(2√2)*[x²+(81/x²)]^(0。5)
等号当且仅当：
18y/x=-√(2-y²)*(2x)
即当9y=-√(2-y²)*x²时等号成立 (@@)
于是f(x,y)≥x²+(81/x²)-(2√2)*[x²+(81/x²)]^(0。
5)
又[x²+(81/x²)]^0。5≥3√2>√2
则配方一下有f(x,y)≥{[x²+(81/x²)]^0。
5-√2}²-2
≥(3√2-√2)²-2=6
当且仅当x=-3时成立,再代入(@@)得：
此时有y=-1
注意这里不取x=3是根据我们一开始所分析的
故最小值是6
。收起
