试证:三角形的九点圆圆心在欧拉线上。
欧拉线:在任一三角形中,外心,重心,垂心共线,且垂心到重心的距离二倍于外心到重心的距离。
九点圆定理:三角形中三边的三个中点,三个高的垂足,垂心到各顶点线段的中点,凡九点共圆。
九点圆又称欧拉圆或称费尔巴哈圆。
所证问题,实际上有更有趣的结论:九点圆圆心在三角形的欧拉线上,且它到垂心和外心的距离相等,九点圆的半径等于外接圆半径的一半。
在任意△ABC中,K,M,N分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF是高线,H,G,O,Q分别是△ABC的垂心,重心,外心和九点圆心。
X,Y,Z分别是AH,BH,CH的中点。连XK,YM,ZN。
易证XK,YM,ZN是九点圆心,
再由[四边形的四边平方之和等于两对角线的平方和加上两对角线中点连线平方的四倍]
在四边形ABHC中,AB^2+AC^2+BH^2+CH^2=BC^2+AH^2+4XK^2
由此可求得:XK=R。
设XK与OH交于Q',因为△XQ'H≌△KQ'O,所以XQ'=KQ',故Q与Q'重合。命题得证。