搜索
首页 教育/科学 理工学科 数学

费尔巴哈定理

三角形九点圆与旁切圆和内切圆相切

全部回答

2009-01-09

0 0
    三角形的九点圆与内切圆内切,三角形的九点圆与旁切圆(三个)外切。 经典平面几何书中均有详细证明。 梁绍鸿,《初等数学复习及研究》是一个习题。 江苏,中学数学,(现为中学数学月刊)96年有一文介绍。
   我在外出差,手头资料不全。 下面给出一个代数简单证法。   在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心,垂心,内心,九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心。
  s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长,外接圆半径,内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c。 易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中,由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中,由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中,由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r)。
     ∵九点圆心在线段HO的中点,∴在△HIO中,由中线公式可求得。 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2。
   又△ABC的九点圆半径为R/2,所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ。   因此 三角形的九点圆与内切圆内切。 在△AHIa中,由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中,由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra)。
   在△HIaO中,由中线公式可求得。 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R+2ra)^2 故IaQ=(R+2ra)/2。
     九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ。 故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。 因此 三角形的九点圆与旁切圆外切。 。
  

类似问题换一批

热点推荐

热度TOP

相关推荐
加载中...

热点搜索 换一换

教育/科学
数学
出国/留学
院校信息
人文学科
职业教育
升学入学
理工学科
外语学习
学习帮助
K12
理工学科
数学
生物学
农业科学
化学
天文学
环境学
建筑学
工程技术科学
地球科学
生态学
心理学
物理学
数学
数学
举报
举报原因(必选):
取消确定举报