关于三角形边长问题
题 设a,b,c是三角形的边长，求证: ab^3+bc^3+ca^3＞=(a=b+c)^4/27.
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题 设a,b,c是三角形的边长，求证:
ab^3+bc^3+ca^3>=(a+b+c)^4/27。
设a,b,c是三角形的边长，求证:ab^3+bc^3+ca^3≥(a+b+c)^4/27。
证明 三元轮换对称式共有两种形式，当确定三元的大小顺序后，可判定两轮换对称式的大小。 假设a≥b≥c，则 ba^3+ac^3+cb^3-ab^3-bc^3-ca^3=(a+b+c)(b-c)(a-b)(a-c)≥0。
(1) 即ba^3+ac^3+cb^3≥ab^3+bc^3+ca^3。 (2) 下面约定a≥b≥c，设x,y,z为正数，令a=y+z，b=z+x，c=x+y，显然z≥y≥x。 对所证不等式作置换，化简整理为: 11Σx^4+44(zy^3+yx^3+xz^3)-10(yz^3+zx^3+xy^3)-15Σy^2*z^2-30xyzΣx≥0 (3) 22Σx^4+34Σx^3(y+z)-30Σy^2*z^2-60xyzΣx≥54(z-y)(y-x)(z-x)Σx Σ(11y^2+11z^2+56yz+30x^2)*(y-z)^2≥54(z-y)(y-x)(z-x)Σx (4) 设z=a+b+x,y=b+x,a≥0,b≥0。
对式作置换, 化简整理为 216x^2*(a^2+b^2+ab)+x(156a^3+288a^2*b+252ab^2+276b^3) +(22a^4+68a^3*b+42a^2*b^2+56a*b^3+82b^4)≥0 以上各项均为非负，故命题得证。
。 。
证明 三元轮换对称式共有两种形式，当确定三元的大小顺序后，可判定两轮换对称式的大小。 假设a≥b≥c，则 ba^3+ac^3+cb^3-ab^3-bc^3-ca^3=(a+b+c)(b-c)(a-b)(a-c)≥0。
(1) 即ba^3+ac^3+cb^3≥ab^3+bc^3+ca^3。 (2) 下面约定a≥b≥c，设x,y,z为正数，令a=y+z，b=z+x，c=x+y，显然z≥y≥x。 对所证不等式作置换，化简整理为: 11Σx^4+44(zy^3+yx^3+xz^3)-10(yz^3+zx^3+xy^3)-15Σy^2*z^2-30xyzΣx≥0 (3) 22Σx^4+34Σx^3(y+z)-30Σy^2*z^2-60xyzΣx≥54(z-y)(y-x)(z-x)Σx Σ(11y^2+11z^2+56yz+30x^2)*(y-z)^2≥54(z-y)(y-x)(z-x)Σx (4) 设z=a+b+x,y=b+x,a≥0,b≥0。
对式作置换, 化简整理为 216x^2*(a^2+b^2+ab)+x(156a^3+288a^2*b+252ab^2+276b^3) +(22a^4+68a^3*b+42a^2*b^2+56a*b^3+82b^4)≥0 以上各项均为非负，故命题得证。
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