几道级数问题求解
第一题，将n^(1/n)-1展开之后变为：
n^(1/n)-1 = exp(1/n*ln(n))-1
1/n*ln(n) --> 0
所以
n^(1/n)-1 = exp(1/n*ln(n))-1 = 1/n*ln(n) + O(ln(n)^2/n^2)
=1/n*ln(n) + o(1/n^1。 5)
所以主要是看通项为 (-1)^(n-1)*ln(n)/n 的交错级数。
而ln(n)/n是递减的！所以这个级数条件收敛。
第二题的思路差不多，也是一个交错级数，而
ln(e^n+e^(-n))是一个递增函数！所以1/（ln(e^n+e^(-n))）递减。
也就是说级数条件收敛。（显然...全部
第一题，将n^(1/n)-1展开之后变为：
n^(1/n)-1 = exp(1/n*ln(n))-1
1/n*ln(n) --> 0
所以
n^(1/n)-1 = exp(1/n*ln(n))-1 = 1/n*ln(n) + O(ln(n)^2/n^2)
=1/n*ln(n) + o(1/n^1。
5)
所以主要是看通项为 (-1)^(n-1)*ln(n)/n 的交错级数。
而ln(n)/n是递减的！所以这个级数条件收敛。
第二题的思路差不多，也是一个交错级数，而
ln(e^n+e^(-n))是一个递增函数！所以1/（ln(e^n+e^(-n))）递减。
也就是说级数条件收敛。（显然不是绝对收敛，因为ln(e^n+e^(-n))大约等于n。）
第三题是不收敛的。可以看一看n足够大的情况。将级数的项两两组合，然后看部分和S(2N)。每一个奇数项减去偶数项为：
1/(根号(2n-1)-1) - 1/(根号(2n)+1) =
(2+ 根号(2n) - 根号(2n-1))/[(根号(2n-1)-1)(根号(2n)+1)]>0
并且由于根号(2n) - 根号(2n-1)>0，上式的左边：
(2+ 根号(2n) - 根号(2n-1))/[(根号(2n-1)-1)(根号(2n)+1)]>2/[(根号(2n-1)-1)(根号(2n)+1)]
>2/[(根号(2n-1)-1)(根号(2n-1)-1)]
= 2/(根号(2n-1)-1)
也就是说部分和
S(2N) = (求和n=1到N的)1/(根号(2n-1)-1) - 1/(根号(2n)+1)
> (求和n=1到N的)/(根号(2n-1)-1)
而后者趋于正无穷
第四题：p>1时显然绝对收敛，p<=1时，级数不是绝对收敛的。
由于函数
ln(x)/x^p的导数等于：
(1 - pln(x))/n^(p+1)
在x足够大的时候总是小于零，所以在n足够大的时候，ln(n)/n^p总是单调递减，所以级数条件收敛。
。
收起
