高一数学问题
函数f(x)=tanx,x在（0，pai/2),若x1,x2在以上范围中，且x1不等于x2,证明：1/2[f(x1)+f(x2)]＞f((x1+x2)/2)
全部回答
(1/2)[f(x1)+f(x2)]=(tgx1+tgx2)/2=(1/2)(sinx1/cosx1+sinx2/cosx2)=(1/2)[(sinx1cosx2+cosx1sinx2)/(cosx1cosx2)]=sin(x1+x2)/(2cosx1cosx2)
=sin(x1+x2)/[cos(x1+x2)+cos(x1-x2)],
f[(x1+x2)/2]=tg[(x1+x2)/2]=sin(x1+x2)/[1+cos(x1+x2)],
由于x1,x2∈(0,π/2),故tgx1＞0,tgx2＞0,tg[(x1+x2)/2]＞0,
故(1/2)[f(x1)+f(x2)]＞0，f[(x1+x2)/2]＞0，
(1/2)[f(x1)+f(x2)]/f[(x1+x2)/2]
={sin(x1+x2)/[cos(x1+x2)+cos(x1-x2)]}/{sin(x1+x2)/[1+cos(x1+x2)]}
=[1+cos(x1+x2)]/[cos(x1+x2)+cos(x1-x2)],
由于x1,x2∈(0,π/2),且x1≠x2,故cos(x1+x2)＞0,cos(x1-x2)＞0,
即1+cos(x1+x2)＞0，cos(x1+x2)+cos(x1-x2)＞0,
由于1＞cos(x1-x2),即1+cos(x1+x2)＞cos(x1+x2)+cos(x1-x2),又cos(x1+x2)+cos(x1-x2)＞0,
故[1+cos(x1+x2)]/[cos(x1+x2)+cos(x1-x2)]＞1，
即(1/2)[f(x1)+f(x2)]/f[(x1+x2)/2]＞1，又f[(x1+x2)/2]＞0，
所以(1/2)[f(x1)+f(x2)]＞f[(x1+x2)/2]。
。
。
使用几何方法：
在XOY直角坐标系中，做单位圆O。圆O交X轴、Y轴于点A、B。过A做圆O的切线L。
设x2 > x1。
做直线OB，分别与圆O、切线L交于点B、M，使:角AOB = x1；
做直线OC，分别与圆O、切线L交于点C、N，使:角AOC = x2；
角BOC的平分线OD，分别交圆O、切线L交于点D、P。
Q为MN的中点。 显然：角AOD = (x1+x2)/2 tgx1 = AM, tgx2 = AN, tg(x1+x2)/2 = AP (tgx1 + tgx2)/2 = (AM + AN)/2 = AQ > AP = tg(x1+x2)/2 因此，1/2[f(x1)+f(x2)] > f((x1+x2)/2)，证毕。
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Q为MN的中点。 显然：角AOD = (x1+x2)/2 tgx1 = AM, tgx2 = AN, tg(x1+x2)/2 = AP (tgx1 + tgx2)/2 = (AM + AN)/2 = AQ > AP = tg(x1+x2)/2 因此，1/2[f(x1)+f(x2)] > f((x1+x2)/2)，证毕。
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证:因为tanA-tanB=sinA/cosA-sinB/cosB
=(sinAcosB-cosAsinB)/(cosAcosB)
=sin(A-B)/(cosAcosB)
故[f(x1)+f(x2)]/2-f[(x1+x2)/2]
=(tanx1+tanx2)/2-tan[(x1+x2)/2]
={tanx1-tan[(x1+x2)/2]}-{tan[(x1+x2)/2]-tanx2}
=sin[(x1-x2)/2]/{cosx1cos[(x1+x2)/2]}+sin[(x1-x2/2]/{cos[(x1+x2)/2]cosx2}
=sin[(x1-x2)/2](cosx1-cosx2)/cos[(x1-x2)/2]
=sin[(x1-x2)/2]*{-2sin[(x1+x2)/2]*sin[x1-x2)/2]}/cos[(x1-x2)/2]
=-2{sin[(x1-x2)/2]}^2*sin[(x1+x2)/2]/cos[(x1-x2)/2]
因为x1,x2∈(0,π/2)--->00;并且 cos[(x1-x2)/2]>0
又 -2{sin[(x1-x2)/2]}^2<0
所以(tanx1+tanx2)/2-tan[(x1_x2)/2]<0
因此1/2*[f(x1)+f(x2)]<f[(x1+x2)/2]得证。
。
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