高2不等式问题,提示中说,要用到爱琴不等式

高二数学均值不等式拆分技巧问题如

“拆分”之关键是根据分母x-a的形式，将分子上所有 x 都改写为【(x-a)+a】。以你的两个问题为例子，详细过程列出于下面 （1）。a+4a/(a-1)=【(a-1)+1】+4【(a-1)+1】/(a-1) =(a-1)+4/(a-1)+5； （2）。 (x+2)*(x-1)/(x-3)={【(x-3)+3】+2}*{【(x-3)+3】-1}/(x-3) =[(x-3)^2+7(x-3)+10]/(x-3)=(x-3)+10/(x-3)+7。 【2009-09-05-20:50根据你的修改重新做】 （3）函数f(x)=(x-50)*10^5/(x-40)^2在[50,100]上的最...全部

  “拆分”之关键是根据分母x-a的形式，将分子上所有 x 都改写为【(x-a)+a】。以你的两个问题为例子，详细过程列出于下面 （1）。a+4a/(a-1)=【(a-1)+1】+4【(a-1)+1】/(a-1) =(a-1)+4/(a-1)+5； （2）。
  (x+2)*(x-1)/(x-3)={【(x-3)+3】+2}*{【(x-3)+3】-1}/(x-3) =[(x-3)^2+7(x-3)+10]/(x-3)=(x-3)+10/(x-3)+7。
   【2009-09-05-20:50根据你的修改重新做】 （3）函数f(x)=(x-50)*10^5/(x-40)^2在[50,100]上的最值。 【解】函数f(x)=(x-50)*10^5/(x-40)^2在[50,100]上显然不小于零。
   所以最小值就是f(50)=0。 下面求f(x)的最大值，也就是在x＞50时， 求函数g(x)=1/f(x)的最小值，可以利用“拆分”方法的， g(x)=10^(-5)*{[(x-50)+50]-40}^2/(x-50) =10^(-5)*[(x-50)+10]^2/(x-50) =10^(-5)*[(x-50)^2+20(x-50)+100]/(x-50) =10^(-5)*[(x-50)+100/(x-50)+20] 利用均值不等式，可得x=60时，g(x)有最小值 g(60)=4*10^(-4)。
   所以f(x)在x＞50时的最大值为f(60)=1/g(60)=10000/4=2500。 【结论】函数f(x)=(x-50)*10^5/(x-40)^2在[50,100]的最小值为f(50)=0；最大值为f(60)=2500。
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