取值范围

如果关于x的方程ax+(1/x2)=3 有且仅有一个正实数解，那么实数a的取值范围为

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2008-05-14

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    ax+1/x^2=3--> ax^3-3x^2+1=0 设f(x)=ax^3-3x^2+1, f'(x)=3ax^2-3x=3x(ax-1) 如果a>0, 那么 x>=1/a，f(x)单调增加， 00, x-->+无穷， f(x)-->+无穷, 所以要使f(x)=0有而且只有一个解， f(1/a)必须为0，因为如果大于0，没有正根，如果小于0，两个正根。
     f(1/a)=-2/a^2+1=0, a^2=2, a=根号{2} (负值舍去，因为我们现在正在讨论a>0的情况)。如果a=0, 3x^2=1-->有且仅有一个正实数解x=根号{3}/3。
   如果a=0时候单调增加，有f(0)=1>0, 所以f(x)>0 (x>0)。   综上, a=0， a=根号{2}。

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