泰勒公式
用泰勒怎么算根2 和反三角函数 举例
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解：√(1+x)=(1+x)^(1/2)(按泰勒公式展开)
=1+(1/2)x+(1/2)[(1/2)-1]x²/2!+(1/2)[(1/2)-1][(1/2)-2]x³/3!+…+
(1/2)[(1/2)-1][(1/2)-2]…[(1/2)-n+1](x^n)/n!+o(x^n)
=1+(x/2)-(x²/8)+(x³/16)-…+[(-1)^(n-1)](2n-3)!!(x^n)/(2n)!!
+o(x^n)
(2n)!!=(2n)×(2n-2)×(2n-4)×…×4×2，即隔一个相乘，一直乘到能取到的最小正整数。
则√2=(1+1)^(1/2) =1+(1/2)-(1/8)+(1/16)-…+[(-1)^(n-1)](2n-3)!!/(2n)!!+o(1) 如按前四项展开，则√2≈1+(1/2)-(1/8)+(1/16)=1。
4375 十分位是精确值，取的项越多，近似程度越高。 反三角函数仅举一例，其余类似。 (arcsinx)`=(1-x^2)^(-1/2)(幂级数展开，与泰勒公式类似) =1+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n)]/(2n)!! arcsinx =arcsin0+∫{1+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×t^(2n)]/(2n)!!}dt =x+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n+1)]/[(2n)!!(2n+1)] arcsin1=1+(1/6)+(3/40)+…+(2n-1)!!/[(2n+1)(2n)!!]+o(1) 取前三项，则arcsin1≈1+(1/6))+(3/40)=1。
2417 个位是精确值，随着取的项数的增加，近似程度会越来越高。
则√2=(1+1)^(1/2) =1+(1/2)-(1/8)+(1/16)-…+[(-1)^(n-1)](2n-3)!!/(2n)!!+o(1) 如按前四项展开，则√2≈1+(1/2)-(1/8)+(1/16)=1。
4375 十分位是精确值，取的项越多，近似程度越高。 反三角函数仅举一例，其余类似。 (arcsinx)`=(1-x^2)^(-1/2)(幂级数展开，与泰勒公式类似) =1+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n)]/(2n)!! arcsinx =arcsin0+∫{1+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×t^(2n)]/(2n)!!}dt =x+Σ(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n+1)]/[(2n)!!(2n+1)] arcsin1=1+(1/6)+(3/40)+…+(2n-1)!!/[(2n+1)(2n)!!]+o(1) 取前三项，则arcsin1≈1+(1/6))+(3/40)=1。
2417 个位是精确值，随着取的项数的增加，近似程度会越来越高。
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x。)+f'(x。
)(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2,+f'''(x。 )/3!•(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!•(x-x。
)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。)^(n+1),这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。 )是f(x。
)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x。+Δx)-f(x。
)=f'(x。)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x。 的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x。
)+A2(x-x。)^2+……+An(x-x。)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。 设函数P(x)满足P(x。)=f(x。),P'(x。
)=f'(x。),P''(x。)=f''(x。),……,P(n)(x。)=f(n)(x。),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x。)=A0,所以A0=f(x。)；P'(x。
)=A1,A1=f'(x。 )；P''(x。)=2!A2,A2=f''(x。)/2!……P(n)(x。)=n!An,An=f(n)(x。)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x。
)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2+……+f(n)(x。 )/n!•(x-x。)^n。 接下来就要求误差的具体表达式了。
设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x。)=f(x。)-P(x。)=0。所以可以得出Rn(x。)=Rn'(x。)=Rn''(x。)=……=Rn(n)(x。)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x。
)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x。)/(x-x。)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x。)^n(注：(x。-x。)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x。
之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x。)/(n+1)(ξ1-x。)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x。 )^(n-1)这里ξ2在ξ1与x。
之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x。)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x。和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。
综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x。
=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。
分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。
） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2。
7182818。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。
过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。 由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。
然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。 。
)(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2,+f'''(x。 )/3!•(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!•(x-x。
)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。)^(n+1),这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。 )是f(x。
)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x。+Δx)-f(x。
)=f'(x。)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x。 的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x。
)+A2(x-x。)^2+……+An(x-x。)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。 设函数P(x)满足P(x。)=f(x。),P'(x。
)=f'(x。),P''(x。)=f''(x。),……,P(n)(x。)=f(n)(x。),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x。)=A0,所以A0=f(x。)；P'(x。
)=A1,A1=f'(x。 )；P''(x。)=2!A2,A2=f''(x。)/2!……P(n)(x。)=n!An,An=f(n)(x。)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x。
)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2+……+f(n)(x。 )/n!•(x-x。)^n。 接下来就要求误差的具体表达式了。
设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x。)=f(x。)-P(x。)=0。所以可以得出Rn(x。)=Rn'(x。)=Rn''(x。)=……=Rn(n)(x。)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x。
)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x。)/(x-x。)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x。)^n(注：(x。-x。)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x。
之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x。)/(n+1)(ξ1-x。)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x。 )^(n-1)这里ξ2在ξ1与x。
之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x。)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x。和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。
综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x。
=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。
分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。
） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2。
7182818。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。
过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。 由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。
然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。 。
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