锐角三角不等式在锐角三角形中,求
在锐角三角形中,求证
5/2>sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B)≥9/4 (1)
3/4≥cosBcosC/cos(B-C)+ cosCcosA/cos(C-A)+ cosAcosB/cos(A-B)>1/2 (2)
两个不等式的统一证法
证明 设a,b,c表示ΔABC对应的边长，S表示面积。
根据正弦定理、余弦定理及海仑公式：
sinA=2S/bc，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) ，
sinB*sinC=4S^2/a^2bc，
cosB*cosC=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2...全部
在锐角三角形中,求证
5/2>sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B)≥9/4 (1)
3/4≥cosBcosC/cos(B-C)+ cosCcosA/cos(C-A)+ cosAcosB/cos(A-B)>1/2 (2)
两个不等式的统一证法
证明 设a,b,c表示ΔABC对应的边长，S表示面积。
根据正弦定理、余弦定理及海仑公式：
sinA=2S/bc，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) ，
sinB*sinC=4S^2/a^2bc，
cosB*cosC=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)/(4a^2bc) ，
cos(B-C)=[(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)+16S^2]/(4a^2bc) ，
16S^2=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)
+(c^2+a^2-b^2)* (b^2+c^2-a^2) 。
根据题设条件：ΔABC为锐角三角形，即
b^2+c^2-a^2>0， c^2+a^2-b^2>0，a^2+b^2-c^2>0。
设x，y，z为正实数，令
x=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) ，
y=(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2) ，
z=(c^2+a^2-b^2)(b^2+c^2-a^2) 。
则(1)式、(2)式经置换整理后，分别等价于:
5/2>(x+y+z)/(2x+y+z)+(x+y+z)/(2y+z+x)+(x+y+z)/(2z+x+y)≥9/4 (3)
3/4≥x/(2x+y+z)+y/(2y+z+x)+z/(2z+x+y)>1/2 (4)
(3)式两边同减3，再同乘以-1即为(4)式；或(4)式两边同减3，再同乘以-1即为(3)式。
所以说不等式(3)与(4)是等价的。
因此欲证不等式(3),(4)，只需证下列两式即可
(x+y+z)/(2x+y+z)+(x+y+z)/(2y+z+x)+(x+y+z)/(2z+x+y)≥9/4(5)
x/(2x+y+z)+y/(2y+z+x)+z/(2z+x+y)>1/2 (6)
因为有恒等式
(2x+y+z)/(x+y+z)+ (x+2y+z)/(y+z+x)+ (x+y+2z)/(z+x+y)=4
x(2x+y+z)+ y(x+2y+z)+ z(x+y+2z)=2(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)
据此及柯西不等式
[(2x+y+z)/(x+y+z)+ (x+2y+z)/(y+z+x)+(x+y+2z)/(z+x+y)]*
[(x+y+z)/(2x+y+z)+(x+y+z)/(2y+z+x)+(x+y+z)/(2z+x+y)]≥9
即得不等式(5)。
[x(2x+y+z)+y(x+2y+z)+z(x+y+2z)]*[x/(2x+y+z)+ y/(2y+z+x)+ z/(2z+x+y)]≥(x+y+z)^2
欲证(6)式，只需证
2(x+y+z)^2>x(2x+y+z)+ y(x+2y+z)+z(x+y+2z) (7)
(7)式化简即为: yz+z+xy>0,
故(6)式成立。
不等式链(3),(4)成立。
。收起
