代数不等式（7）
问题 设a,b,c为正实数，求证 ( 1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)≤1/(abc)
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代数不等式（7）
问题 设a,b,c为正实数，求证
( 1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)≤1/(abc) （1）
证明 （1） (abc)^(2/3)*{[bc(1+6ab)]^(1/3)+[ca(1+6bc)]^(1/3)+[ab(1+6ca)]^(1/3)}≤1
设bc=x,ca=y,ab=z。
则x+y+z=1。 上式置换后等价于 (xyz)^(1/3)*{[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)})}≤1 (2) 因为 3*[x(1+6z)]^(1/3)=[3*9x*(1+6z)]^(1/3)≤ [3+9x+(1+6z)]/3=(4+9x+6z)/3 所以 [x(1+6z)]^(1/3)≤(4+9x+6z)/9 同理 [y(1+6x)]^(1/3)≤(4+9y+6x)/9 [z(1+6t)]^(1/3)≤(4+9z+6y)/9 故得 [x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)≤ [12+15(x+y+z)]/9=3 而(xyz)^(1/3)≤(x+y+z)/3=1/3，即知(2)式成立，所以(1)获证。
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则x+y+z=1。 上式置换后等价于 (xyz)^(1/3)*{[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)})}≤1 (2) 因为 3*[x(1+6z)]^(1/3)=[3*9x*(1+6z)]^(1/3)≤ [3+9x+(1+6z)]/3=(4+9x+6z)/3 所以 [x(1+6z)]^(1/3)≤(4+9x+6z)/9 同理 [y(1+6x)]^(1/3)≤(4+9y+6x)/9 [z(1+6t)]^(1/3)≤(4+9z+6y)/9 故得 [x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)≤ [12+15(x+y+z)]/9=3 而(xyz)^(1/3)≤(x+y+z)/3=1/3，即知(2)式成立，所以(1)获证。
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