条件等式

不等式问题已知正实数a,b,c,

由ab+cd=(a+b)(c+d)得 a=(bc+bd-cd)/(b-c-d)。 不妨设在a,b,c,d中最大的一个数是a, 当b0矛盾。 ∴b>c+d,bc+bd-cd>=b(b-c-d), 化简得 -b^2≥-2b(c+d)+cd (1) b^2-2b(c+d)+cd<=0, ∴c+d全部

  由ab+cd=(a+b)(c+d)得 a=(bc+bd-cd)/(b-c-d)。 不妨设在a,b,c,d中最大的一个数是a, 当b0矛盾。 ∴b>c+d,bc+bd-cd>=b(b-c-d), 化简得 -b^2≥-2b(c+d)+cd (1) b^2-2b(c+d)+cd<=0, ∴c+d  (2) 设y=4a√3-（a+b+c+d)(√3+1） =（3√3-1）a-(b+c+d)(√3+1) =(3√3-1）（bc+bd-cd)/(b-c-d)-(b+c+d)(√3+1） =[(c^2+d^2-b^2)(√3+1）+(3√3-1）b（c+d)+(3-√3）cd]/(b-c-d) ≥{[c^2+d^2-2b(c+d)+cd](√3+1）+(3√3-1）b(c+d)+(3-√3)cd}/(b-c-d)(由(1)) ={-(3-√3)b(c+d)+(c^2+d^2)(√3+1)+4cd}/(b-c-d) 设上式分子=f(b),f(b)是一次函数，一次项系数<0,∴由（2），要f(b)≥0,只需f(b1)≥0,。
   f(b1)=-(3-√3)[c+d+√(c^2+cd+d^2)](c+d)+(c^2+d^2)(√3+1)+4cd =[(2√3-2）√（c^2+cd+d^2）-(3-√3）（c+d)] *√(c^2+cd+d^2), [(2√3-2）√（c^2+cd+d^2）]^2-[(3-√3）（c+d)]^2 =(16-8√3）（c^2+cd+d^2）-（12-6√3）（c^2+2cd+d^2） =（4-2√3）（c^2-2cd+d^2) =(4-2√3）（c-d)^2≥0, ∴(2√3-2）√（c^2+cd+d^2）-(3-√3）（c+d)≥0， ∴f(b1)≥0, ∴f(b)≥0, ∴y≥0。
   ∴命题成立。收起