求助不等式证明设a,b,c是正数
设a,b,c是正数,求证
(a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3)
这个不等式不难，但也不简单的。
我在奥数之家看到，也没有完整解答。
下面给出四种证法。
证法一[配方法,这个证法不易想到]
记P=(a^2+b^2+c^2)^2-3(ab^3+bc^3+ca^3),Q=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab,
则有如下恒等式:
4P*Q
=[a^3+b^3+c^3-5(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+ac^2+cb^2)]^2
+3[a^3+b^3+c^3-2(ba^2+ac^2+cb^2)-(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2
显...全部
设a,b,c是正数,求证
(a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3)
这个不等式不难，但也不简单的。
我在奥数之家看到，也没有完整解答。
下面给出四种证法。
证法一[配方法,这个证法不易想到]
记P=(a^2+b^2+c^2)^2-3(ab^3+bc^3+ca^3),Q=a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab,
则有如下恒等式:
4P*Q
=[a^3+b^3+c^3-5(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+ac^2+cb^2)]^2
+3[a^3+b^3+c^3-2(ba^2+ac^2+cb^2)-(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2
显然PQ≥0,而Q≥0,故P≥0。
不等式小组网上有一个更好配方，摘录如下:
4P=(-2c^2+3bc+b^2-3ab+a^2)^2+3(bc-b^2-2ac+ab+a^2)^2。
另外一个不很简单。
证法二[差分代换法]
记P=ab^3+bc^3+ca^3,Q=ba^2+ac^2+cb^2。
则有已知恒等式:
P-Q=(a+b+c)*(b-c)*(c-a)*(a-b) (1)
显然当a≤b≤c,或b≤c≤a,或c≤a≤b时,P≥Q。
下证在a≤b≤c时,
(a^2+b^2+c^2)^2≥3(ab^3+bc^3+ca^3) (2)
设c=a+m+n,b=a+m,m,n∈R+。
对(2)式代换
[a^2+(a+m)^2+(a+m+n)^2]^2-3[(a+m+n)^3*(a+m)+(a+m)^3*a+a^3*(a+m+n)]≥0
上式化简整理为
(m^2+mn+n^2)*a^2+(m^3+n^3-3nm^2-2mn^2)a+(m^4+n^4+mn^3-nm^3-m^2*n^2)≥0 (3)
把(3)式可看作a的一元两次式,由判别式只需证
△=4(n^2+nm+m^2)*(n^4+mn^3-n^2*m^2-nm^3+m^4)-(n^3+m^3-2mn^2-3nm^2)^2
=3(n^6+4mn^5+2m^2*n^4-6m^3*n^3-3m^2*n^4+2mn^5+m^6)
=3(n^3+2mn^2-nm^2-m^3)^2≥0
所以(3)式成立,从而不等式(2)获证。
证法三[分析法]
所证不等式两边同乘上2,再同减去3∑a^3*(b+c),得
2(a^2+b^2+c^2)^2-3∑a^3*(b+c)≥3(ab^3+bc^3+ca^3-ba^3-ac^3-cb^3)
∑(b^2-bc+c^2)*(b-c)^2≥3(b-c)*(a-b)(c-a)*∑a (1)
(1)式左边始终为非负,如果右边为负,显然成立。
(1)式右边在下列三种情况为非负:
a≤b≤c,或b≤c≤a,或c≤a≤b。
下面仅需证在a≤b≤c时,所证不等式成立即可。即证
∑(b^2-bc+c^2)*(b-c)^2≥3(b-c)*(a-b)(c-a)*∑a (2)
由A-G不等式,得
(b^2-bc+c^2)*(b-c)^2+(b^2-ab+a^2)*(a-b)^2
≥2(b-c)(a-b)√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)];
(c^2-ca+a^2)*(c-a)^2≥4(b-c)(a-b)(c^2-ca+a^2)。
所以欲证(2)只需证
2√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)]+4(c^2-ca+a^2)-3(c-a)∑a≥0 (3)
2√[(b^2-bc+c^2)(b^2-ab+a^2)]+c^2+7a^2+3ab-4ca-3bc≥0 (4)
。
收起
