一道有关等差数列的证明题证明某数
由于{c(n)}为等差数列,所以
2c(n+1)=c(n)+c(n+2)
a(n)-4a(n+3)+3a(n+4)=0
a(n)-a(n+2)+a(n+2)-a(n+4)=4[a(n+3)-a(n+4)]
bn+b(n+2)=4[a(n+3)-a(n+4)] (*)
同样可得
b(n+1)+b(n+3)=4[a(n+4)-a(n+5)]
两式相加得
bn+b(n+1)+b(n+2)+b(n+3)=4b(n+3)
bn+b(n+1)+b(n+2)=3b(n+3)
但bn≤b(n+1)
于是bn+b(n+1)+b(n+2)=3b(n+3)≥3b(n+2)
bn+b(n+1)≥2b(n+2)
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由于{c(n)}为等差数列,所以
2c(n+1)=c(n)+c(n+2)
a(n)-4a(n+3)+3a(n+4)=0
a(n)-a(n+2)+a(n+2)-a(n+4)=4[a(n+3)-a(n+4)]
bn+b(n+2)=4[a(n+3)-a(n+4)] (*)
同样可得
b(n+1)+b(n+3)=4[a(n+4)-a(n+5)]
两式相加得
bn+b(n+1)+b(n+2)+b(n+3)=4b(n+3)
bn+b(n+1)+b(n+2)=3b(n+3)
但bn≤b(n+1)
于是bn+b(n+1)+b(n+2)=3b(n+3)≥3b(n+2)
bn+b(n+1)≥2b(n+2)
再由bn≤b(n+1)
2b(n+2)≤bn+b(n+1)≤2b(n+1),即b(n+2)≤b(n+1)
但b(n+1)≤b(n+2),所以b(n+1)=b(n+2)
{bn}为常数列,bn=2d
an-a(n+2)=2d
由(*)可得,a(n+3)-a(n+4)=d,可知a4-a5=d,
而且a1-a3=2d,a2-a4=2d,a3-a5=2d,
进而有,a3-a4=d,a2-a3=d,a1-a2=d
所以{an}为等差数列!。
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