翻杯子问题有6只杯口朝上的杯子,请思考下面的问题:
1、一次翻动其中的四只使其杯口与原朝向相反，能否经过有限次数翻动，使它们杯口全部朝下？一次翻动其中的5只呢？
2、若杯子增加到7只，一次翻动其中的四只、五只，情况又将怎样？
请告诉我解决这累问题的方法！！谢谢
以下为本人个人见解,根据最优解法所作,有笔误或出错的地方请自己理解下或指出,若转载请注明出处,谢谢。
1:6翻4:3次。
做法:
第一步翻正向的4个,此时4反2正
第二步翻正向的1个,反向的3个,此时2反4正
第三步收尾。
6翻5:6次。
做法:
第一步翻正向的5个,此时5反1正
第二步翻正向的1个,反向的4个,此时2反4正
第三步翻正向的3个,反向的2个,此时3反3正(一半的特征)
第四步翻正向的3个,反向的2个,此时4反2正
第五步翻正向的1个,反向的4个,此时1反5正
第六步收尾。
2:7翻4:无解。
7翻5:3次。
做法:
第一步翻正向的5个,此时5反2正
第二步翻正向的1...全部
以下为本人个人见解,根据最优解法所作,有笔误或出错的地方请自己理解下或指出,若转载请注明出处,谢谢。
1:6翻4:3次。
做法:
第一步翻正向的4个,此时4反2正
第二步翻正向的1个,反向的3个,此时2反4正
第三步收尾。
6翻5:6次。
做法:
第一步翻正向的5个,此时5反1正
第二步翻正向的1个,反向的4个,此时2反4正
第三步翻正向的3个,反向的2个,此时3反3正(一半的特征)
第四步翻正向的3个,反向的2个,此时4反2正
第五步翻正向的1个,反向的4个,此时1反5正
第六步收尾。
2:7翻4:无解。
7翻5:3次。
做法:
第一步翻正向的5个,此时5反2正
第二步翻正向的1个,反向的4个,此时2反5正
第三步收尾。
这类问题必须假设,再推测规律,再验证。
存在除数关系的,当然是翻动次数和除数一样,显然问题不会这么出。
令 杯子数=a(a≥3且a∈Z),单次翻动杯子次数=b(2≤b≤a且b∈Z)。
若a为奇数,b为偶数,则无解(因为偶数+偶数≠奇数);
若a为偶数,b为奇数,则次数为2的倍数(因为奇数+奇数=偶数);
若a与b存在公约数x,且a/x翻b/x有解,则可直接理解为a/x翻b/x;
若a-b=1,a为偶数,次数=a;
若a-b=2,次数为3;
若a-b=3,a为偶数,
若a为4的倍数,则分两步:
第一步让杯子一半上一半下,
第二步翻倍次数,
若a为4的倍数,且b-a/2为奇数,则次数为2*2=4,
做法为第一次翻正向的b个,
第二次翻反向的(b-(b-a/2))/2+(b-a/2)
=(b-a/4)个,
翻正向的((b-(b-a/2))/2)
=a/4个,
此时一半上一半下,
第三次翻反向的(b-a/4)个,
翻正向的a/4个,
此时b个正向,
第四次翻正向的b个;
若a为4的倍数,且b-a/2为偶数(不包括0)则次数为3*2=6,
做法为第一次翻正向的b个,
此时正向的(a-b)个,反向的b个,
第二次翻反向的(b+(2b-a)/4)/2个,正向的(b-(2b-a)/4)/2个,
此时正向的(a-b+(2b-a)/4)个,反向的(b-(2b-a)/4)个,
第三次翻反向的(b+(2b-a)/4)/2个,正向的(b-(2b-a)/4)/2个,
此时正向的(a-b+(2b-a)/2)个,反向的(b-(2b-a)/2)个,
第四次翻反向的(b+(2b-a)/4)/2个,正向的(b-(2b-a)/4)/2个,
此时正向的(a-b+3(2b-a)/4)个,反向的(b-3(2b-a)/4)个,
第五次翻反向的(b+(2b-a)/4)/2个,正向的(b-(2b-a)/4)/2个,
此时正向的(a-b+(2b-a))=b个,反向的(b-(2b-a))=(a-b)个,
第六次收尾。
若a非4的倍数,且b-a/2为奇数,且(a-b-1)为偶数,则次数为b+1+2=(b+3)次
做法为第一次翻正向的b个,
此时正向的(a-b)个,反向的b个,
第二次翻正向的(b-(b+1-(a-b)))/2
=(a-b-1)/2个,
翻反向的b-(a-b-1)/2
=(3b+1-a)/2个,
此时正向的(b+1)个,反向的(a-b-1)个,
问题归为(b+1)个翻b个的问题,该问题次数为(b+1)次
暂时写到这里了,剩下的留给高手思考吧。
希望可以解决您的疑问。
。收起
