不等式问题
已知a,b,c为非负实数,且a+b+c=5,求证:
(3a+1)^(1/2)+(3b+1)^(1/2)+(3c+1)^1/2)>=6
证 因为a,b,c是全对称的,设a=max(a,b,c)。
则
√(3a+1)+4>√(3b+1)+1,√(3a+1)+4>√(3c+1)+1。
1/[√(3a+1)+4]>1/[√(3b+1)+1],1/[√(3a+1)+4]>1/[√(3c+1)+1]。
T=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)-6
=√(3a+1)-4+√(3b+1)
-1+√(3c+1)-1
=[3a+1-16]/[√(3a+1)+4]+3b/[√(3b+1)+1]+3c/[√(3c+1)+1]
=[-3b-3c]/[√(3a+1)+4]+3b/[√(3b+1)+1]+3c/[√(3c+1)+1]>=0
证毕。
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