三角函数值域
求函数y=(6cosx+sinx-5)/(2cosx-3sinx-5)的值域。
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解法一：
设t＝tan(x/2),则sinx＝2t/(1+t^2),cosx＝(1-t^2)/(1+t^2)。
代入所求式整理，得
(11-7y)t^2-2(1+3y)t-(1+3y)＝0。
∵判别式△≥0 →[-(1+3y)]^2-4(11-7y)[-(1+3y)]≥0 →3y^2-8y-3≤0 解得，-1/3≤y≤3。 ∴所求函数值域为：{y|-1/3≤y≤3}。
解法二： 原式即：(1+3y)sinx+(6-2y)cosx＝5-5y。 构造向量m＝(1+3y,6-2y),n＝(sinx,cosx), 则m·n＝(1+3y)sinx+(6-2y)cosx＝5-5y ∵|m|·|n|≥|m·n|, ∴[(1+3y)^2+(6-2y)^2][(sinx)^2+(cosx)^2]≥(5-5y)^5 →3y^2-8y-3≤0 →-1/3≤y≤3。
∴所求函数值域为：{y|-1/3≤y≤3}。 此外，还可用数形结合法、Cauchy不等式、构造复数法、求导数法等等。
∵判别式△≥0 →[-(1+3y)]^2-4(11-7y)[-(1+3y)]≥0 →3y^2-8y-3≤0 解得，-1/3≤y≤3。 ∴所求函数值域为：{y|-1/3≤y≤3}。
解法二： 原式即：(1+3y)sinx+(6-2y)cosx＝5-5y。 构造向量m＝(1+3y,6-2y),n＝(sinx,cosx), 则m·n＝(1+3y)sinx+(6-2y)cosx＝5-5y ∵|m|·|n|≥|m·n|, ∴[(1+3y)^2+(6-2y)^2][(sinx)^2+(cosx)^2]≥(5-5y)^5 →3y^2-8y-3≤0 →-1/3≤y≤3。
∴所求函数值域为：{y|-1/3≤y≤3}。 此外，还可用数形结合法、Cauchy不等式、构造复数法、求导数法等等。
y=(6cosx+sinx-5)/(2cosx-3sinx-5)，
∴6cosx+sinx-5=y(2cosx-3sinx-5),
∴(6-2y)cosx+(1+3y)sinx=5-5y,
(6-2y)^2+(1+3y)^2
=36-24y+4y^2
+1+6y+9y^2
=37-18y+13y^2,
∴√(37-18y+13y^2)sin(x+t)=5-5y,其中t=arcsin[(6-2y)/√（37-18y+13y^2）],
sin(x+t)=(5-5y)/√(37-18y+13y^2),
∵|sin(x+t)|<=1,
∴|5-5y|<=√(37-18y+13y^2),
平方得25-50y+25y^2<=37-18y+13y^2,
∴12y^2-32y-12<=0,
∴3y^2-8y-3<=0,
∴-1/3<=y<=3,为所求。
。
。
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