已知抛物线P：x2=2py （p＞0）．（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的...
解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，即M（m，2）到y=-p2的距离为3；∴-p2 2=3，解得p=2．∴抛物线P的方程为x2=4y． （ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．由x2=4yy=kx-1，消y得x2-4kx 4=0，△=16k2-16=0，解得k=±1． ∴切线方程为y=±x-1． ...全部
解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，即M（m，2）到y=-p2的距离为3；∴-p2 2=3，解得p=2．∴抛物线P的方程为x2=4y． （ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．由x2=4yy=kx-1，消y得x2-4kx 4=0，△=16k2-16=0，解得k=±1． ∴切线方程为y=±x-1． （Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：y=kx p2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2=2pyy=kx p2消y得 x2-2pkx-p2=0． 且△＞0．∴x1 x2=2pk，x1•x2=-p2；∵A（x1，y1），∴直线OA：y=y1x1x，与y=-p2联立可得C(-px12y1，-p2)，同理得D(-px22y2，-p2)． ∵焦点F(0，p2)，∴FC=(-px12y1，-p)，FD=(-px22y2，-p)，∴FC•FD=(-px12y1，-p)•(-px22y2，-p)=px12y1px22y2 p2=p2x1x24y1y2 p2=p2x1x24x122px222p p2=p4x1x2 p2=p4-p2 p2=0∴以CD为直径的圆过焦点F．。
收起
