什么是对称的正交矩？
实对称阵的特征值必为实数。正交矩阵的特征值必为单位复数(即在复平面单位圆上)。而单位圆上的实数只有1和-1。因此实对称正交矩阵的特征值只能为1或-1。补充证明一下正交矩阵的特征值必为单位复数。 设A是正交矩阵, λ是其在复数域上的一个特征值, X ≠ 0是属于λ的一个(复)特征向量。设μ是λ的复共轭, Y是X的复共轭, 则由AX = λX取复共轭可得AY = μY (A是实矩阵)。取转置得Y'A' = μY', 于是Y'A'AX = λμY'X。 由A为正交矩阵, A'A = E, 又由μ是λ的复共轭, λμ = |λ|²。故Y'X = |λ|²Y'X。而X ≠ 0, Y是X的复共轭,...全部
实对称阵的特征值必为实数。正交矩阵的特征值必为单位复数(即在复平面单位圆上)。而单位圆上的实数只有1和-1。因此实对称正交矩阵的特征值只能为1或-1。补充证明一下正交矩阵的特征值必为单位复数。
设A是正交矩阵, λ是其在复数域上的一个特征值, X ≠ 0是属于λ的一个(复)特征向量。设μ是λ的复共轭, Y是X的复共轭, 则由AX = λX取复共轭可得AY = μY (A是实矩阵)。取转置得Y'A' = μY', 于是Y'A'AX = λμY'X。
由A为正交矩阵, A'A = E, 又由μ是λ的复共轭, λμ = |λ|²。故Y'X = |λ|²Y'X。而X ≠ 0, Y是X的复共轭, 有Y'X = X各分量绝对值的平方和 ≠ 0。则有|λ|² = 1, 即|λ| = 1。
注: 证明其实适用于A是酉矩阵的情形。收起
