垂足三角形求证垂足三角形（广义）的面积不大于原三角形的四分之一，要详细解答。
证明：设△DEF的垂足三角形为ABC（A、B、C分别为EF、DF、DE上的垂足）。垂心为H。作△ABC的外接圆，即△DEF的九点圆，分别交HD、HE、HF于P、Q、R。
则P、Q、R为HD、HE、HF的中点。
于是S△DBH=2S△PBH，S△ DCH=2S△PCH，从而S四边形HBDC=2S四边形HBPC。
同理S四边形HCEA=2S四边形HCQA，S四边形HIAF=2S四边形IARB
于是S△DEF/S△ABC=2(S四边形HBPC+S四边形HCQA+S四边形IARB
)/S△ABC=[2(S△ABR+S△BPC+S△AQC)/S△ABC] + 2
故只需证k=(S△ABR+S...全部
证明：设△DEF的垂足三角形为ABC（A、B、C分别为EF、DF、DE上的垂足）。垂心为H。作△ABC的外接圆，即△DEF的九点圆，分别交HD、HE、HF于P、Q、R。
则P、Q、R为HD、HE、HF的中点。
于是S△DBH=2S△PBH，S△ DCH=2S△PCH，从而S四边形HBDC=2S四边形HBPC。
同理S四边形HCEA=2S四边形HCQA，S四边形HIAF=2S四边形IARB
于是S△DEF/S△ABC=2(S四边形HBPC+S四边形HCQA+S四边形IARB
)/S△ABC=[2(S△ABR+S△BPC+S△AQC)/S△ABC] + 2
故只需证k=(S△ABR+S△BPC+S△AQC)/S△ABC>=1
记∠BAC=2a,∠ABC=2b，∠BCA=2c，则
S△BPC/S△ABC=PB*PCsin2a/AB*ACsin2a=PB*PC/AB*AC
由正弦定理,PB/AB=sina/sin2c,PC/AC=sina/sin2b
故S△BPC/S△ABC=(sina)^2/sin2b*sina2c
同理S△AQC/S△ABC=(sinb)^2/sin2a*sina2c
S△ARB/S△ABC=(sinc)^2/sin2a*sina2b
k=(sina)^2/sin2b*sina2c+(sinb)^2/sin2a*sina2c+(sinc)^2/sin2a*sina2b
>=3[(sina*sinb*sinc)^2/(sin2a*sina2b*sina2c)^2]^(1/3)(均值不等式)
=3/4 *（cosa*cosb*cosc）^（-2/3）
>=3/4 * [(cosa+cosb+cosc)/3]^(-2)(均值不等式)
>=3/4 * [cos(a+b+c)/3]^(-2)(琴生不等式)
=1
证毕。收起
