三角函数与不等式问题。

对于任意实数x和任意角θ∈[0，π/2]，不等式(x+3+sin2θ)^2+(x+asinθ+acosθ)^2≥1/8恒成立，求a的去值范围。

全部回答

2007-06-09

0 0

先讨论这样一个事情(x+m)^2+(x+n)^2的最小值 (x+m)^2+(x+n)^2=2x^2+(2m+2n)x+m^2+n^2 当x=-(m+n)/2时，有最小值(a-b)^2/2 所以左边≥[(3+sin2θ)-(asinθ+acosθ)]^2/2 要证其大于等于1/8，只须征(3+sin2θ)-(asinθ+acosθ)≥1/2 设sinθ+cosθ=t,则sin2θ=t^2-1 （t∈[0,√2]) 原式为t^2-at+2≥1/2 即t^2-at+3/2 ≥0 设f(t)=t^2-at+3/2 f(0)≥0 f(√2)≥0 f(a/2)≥0 a∈(0,2√2）解得a≤√6（计算结果未必正确）。
。

提交