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求助 两道关于正整数的小证明题

1、对于不小于5的自然数n,求证2^n>n^22、设a、b∈R+,n∈N+,求证[(a+b)/2]^n≤(a^n+b^n)/2是关于正整数的证明题,请问应如何入手?归纳法吗?求教

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2007-01-15

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    用数学归纳法,相对思路要简单一些。 1、设:2^n>n^2 ==> 2^(n+1)>2*n^2 2*n^2 -(n+1)^2 = n^2 -2n-1 = (n-1)^2 -2 n不小于5 ==> 2*n^2 -(n+1)^2>0 ==> 2^(n+1)>2*n^2>(n+1)^2 因此,原不等式成立。
     2、设:[(a+b)/2]^n≤(a^n+b^n)/2 ==> [(a+b)/2]^(n+1)≤[(a+b)/2]*(a^n+b^n)/2 = [a^(n+1) +b^(n+1) +a*b^n +b*a^n]/4 [a^(n+1) +b^(n+1) +a*b^n +b*a^n]/4 -[a^(n+1)+b^(n+1)]/2 = -(a-b)(a^n -b^n)/4 ≤0 ==> [(a+b)/2]^(n+1)≤[a^(n+1) +b^(n+1)]/2 因此,原不等式成立 。
    。

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