高中数学竞赛题1.设M是△ABC内的一
1。解：由向量内积定义，AB*AC*(√3)/2=2√3,AB*AC=4。
△ABC的面积=（AB*ACsin∠BAC）/2=1=1/2+x+y,y=1/2-x,设x=[(sinα)^2]/2,
1/x+4/y=1/x+4/(1/2-x)=2[1+(cotα)^2]+8[1+(tanα)^2]=10+2(cotα)^2+8(tanα)^2≥18,为所求。
2。解：f(kx)+f(-x^2+x-2)>0，
f(kx)>-f(-x^2+x-2)=f(x^2-x+2),
f(x)在R上为减函数,
所以kx0,x∈(0,1],下面分两种情况：
(1)g(x)最小值=[8-(k+1)^2]/4>...全部
1。解：由向量内积定义，AB*AC*(√3)/2=2√3,AB*AC=4。
△ABC的面积=（AB*ACsin∠BAC）/2=1=1/2+x+y,y=1/2-x,设x=[(sinα)^2]/2,
1/x+4/y=1/x+4/(1/2-x)=2[1+(cotα)^2]+8[1+(tanα)^2]=10+2(cotα)^2+8(tanα)^2≥18,为所求。
2。解：f(kx)+f(-x^2+x-2)>0，
f(kx)>-f(-x^2+x-2)=f(x^2-x+2),
f(x)在R上为减函数,
所以kx0,x∈(0,1],下面分两种情况：
(1)g(x)最小值=[8-(k+1)^2]/4>0,-1-2√2=0,g(1)>0,g(x)在(0,1]单调，
g(1)=2-k>0;(k+1)/2=1。
k=1。
求交集，得k<=-1,或1<=k<2。
求（1）、（2）的并集得k<2,为所求。
4。解：设AB、CD的中点分别为E、F,连CE、CF、EF。
AB=6,AC=BC=5,所以CE⊥AB,CE=4,同理DE=4。
CD=6,EF=√7。
△CDE的面积=3√7，△ABC的面积=12。
易知AB⊥平面CDE,四面体ABCD的体积=AB*△CDE的面积/3=6√7。
四面体ABCD的表面积=4*△ABC的面积=48。
内切球的半径=3*四面体ABCD的体积/四面体ABCD的表面积=(3√7)/8。
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