不等式的证明

求证极限设{xn}, n为自然数。 求证：lim sup{(x1+x(n+1))/xn}^n≥e

证明：假设{xn}, n∈N中每一项均为正数, 且 limsup[(x1+x(n+1))/xn]^n=lim{sup(t≥n)[(x1+x(t+1))/xt]^t} 存在(收敛) 引理：存在无穷多个正整数n使得[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n 证明：若[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n对有限个实数n成立 则存在一个正数N使得∀n≥N; [x1+x(n+1)]/xn＜1+1/n……(1) 存在一个正整数n使得xn＜0……(2) 首先确定x(N+m)＜(N+m)/N*xN-(N+m)[H(N+m)-H(N)]x1……(3) 【H(m)表示第m个谐波次数】 (3)可由数...全部

  证明：假设{xn}, n∈N中每一项均为正数, 且 limsup[(x1+x(n+1))/xn]^n=lim{sup(t≥n)[(x1+x(t+1))/xt]^t} 存在(收敛) 引理：存在无穷多个正整数n使得[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n 证明：若[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n对有限个实数n成立 则存在一个正数N使得∀n≥N; [x1+x(n+1)]/xn＜1+1/n……(1) 存在一个正整数n使得xn＜0……(2) 首先确定x(N+m)＜(N+m)/N*xN-(N+m)[H(N+m)-H(N)]x1……(3) 【H(m)表示第m个谐波次数】 (3)可由数学归纳法证出。
   由(1), x(n+1)＜(n+1)/n*xn-x1, n≥N。 所以当m=1时(3)成立 另一方面, 如果(3)对一些m成立, 则 x(N+m+1)＜(N+m+1)/(N+m)*x(N+m)-x1 ````````＜(N+m+1)/N*xN-(N+m+1)[H(N+m)-H(N)]x1-x1 ````````=(N+m+1)/N*xN-(N+m+1){H(N+m+1)-H(N)]x1 故(3)对所有m∈N都成立 由H(N+m)≥∫(0,N+m+1)1/x*dx=ln(N+m+1) x1＞0, 存在实数A,B,C (A＞0)使得 ∀m∈N; x(N+m)＜-Amln(N+m+1)+Bm+C 所以当m充分大时, x(N+m)应为负数, 即(2)成立 但(2)不可能成立, 因为{xn}＞0。
   由此矛盾引理得证 由此引理, {xn}存在一个有限子序列{yn}使得 {[y1+y(n+1)]/yn}^n≥(1+1/n)^n 所以∀n≥M; sup(t≥n){[x1+x(t+1)]/xt}^t≥sup(t≥n){[y1+y(t+1)]/yt}^t≥sup(t≥n)(1+1/t)^t 对于充分大的M, 即有 limsup{[x1+x(n+1)]/xn}^n≥limsup(1+1/n)^n=e --------------------------------------------------------- 注：如常规老师所说 可以令 x(k) / k = y(k) x(n+1)＜(n+1)/n*xn-x1 变成 y(n+1)＜y(n)-x1/(n+1) y(n+m)＜y(n)-x1[(1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+m)] 利用调和级数的发散性也可以推出矛盾 。
  收起