设z是1的7次方根，z≠1，则z+z^2+z^4=________
z是1的一个7次方根，并且z<>1。可以设z=cos(2pi/7)+isin(2pi/7)
则z^2=cos(4pi/7)+isin(4pi/7)
z^4=cos(8pi/7)+isin(8pi/7)
所以z+z^2+z^4
=A+Bi。 其中 cos(2pi-a)=cosa,sin(2pi-a)=-sina。
A=cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)，
B=[sin(2pi/7)+sin(4pi/7)-sin(6pi/7)。 则(为便于计算用t代替pi/7)
A=1/(2sint)(2cos2tsint+2cos4tsint+2cos6tsint) 分...全部
z是1的一个7次方根，并且z<>1。可以设z=cos(2pi/7)+isin(2pi/7)
则z^2=cos(4pi/7)+isin(4pi/7)
z^4=cos(8pi/7)+isin(8pi/7)
所以z+z^2+z^4
=A+Bi。
其中 cos(2pi-a)=cosa,sin(2pi-a)=-sina。
A=cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)，
B=[sin(2pi/7)+sin(4pi/7)-sin(6pi/7)。
则(为便于计算用t代替pi/7)
A=1/(2sint)(2cos2tsint+2cos4tsint+2cos6tsint) 分别积化和差
=1/(2sint)[(sin3t-sint)+(sin5t-sin3t)+(sin7t-sin5t)]
=1/(2sint)*(sin7t-sint) t=pi/7--->sin7t=sin(pi)=0
=-sint/(2sint)
=-1/2。
B=1/(2sint)(2sin2tsint+2sin4tsint-2sin6tsint)
=1/(2sint)[-(cos3t-cost)-(cos5t-cos3t)+(cos7t-cos5t)]
=1/(2sint)*(cost-2cos5t-1)
=1/(2sint)*(cost+2cos2t-1)
=1/(2sint)*[4(cost)^2+cost-2]至此无法得出一个常用的数值。
所以z+z^2+z^4=-1/2+Bi。(B是上列数值）。收起
