高二数学问题4

线性代数题求教！设a1,a2,.

设a1,a2,。。。。an 是n个n维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示。 证明 (i)必要性：因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组，因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。 (ii)充分性：因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示，特别地，n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示；另一方面，n维向量组a1,a2,…,an显然...全部

  设a1,a2,。。。。an 是n个n维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示。 证明 (i)必要性：因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组，因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。
   (ii)充分性：因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示，特别地，n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示；另一方面，n维向量组a1,a2,…,an显然可由n维单位向量组e1,e2,…,en线性表示,所以向量组a1,a2,…,an与向量组e1,e2,…,en等价。
  由于向量组e1,e2,,…,en线性无关,故向量组a1,a2,…,an也线性无关。 。收起